Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	If we consider for a moment the equality	+	Betrachten wir die Gleichung
-	{{Displayed math||<math>\sin u = \sin v</math>|(*)}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\sin u = \sin v,</math>|(*)}}
-	where ''u'' has a fixed value, there are usually two angles ''v'' in the unit circle which ensure that the equality holds,	+	wobei ''u'' eine Konstante ist, gibt es zwei Lösungen für diese Gleichung, nämlich
-	{{Displayed math||<math>v=u\qquad\text{and}\qquad v=\pi-u\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>v=u\qquad\text{und}\qquad v=\pi-u\,\textrm{.}</math>}}
-	[[Image:4_4_5_a.gif||center]]	+	<center>{{:4.4.5a - Solution - Two unit circles with angles v = u and v = π - u}}</center>
-	(The only exception is when <math>u = \pi/2</math> or <math>u=3\pi/2</math>, in which case <math>u</math> and <math>\pi-u</math> correspond to the same direction and there is only one angle ''v'' which satisfies the equality.)	+	(Die einzige Ausnahme ist, wenn <math>u = \pi/2</math> oder <math>u=3\pi/2</math>, da in diesen Fällen <math>u</math> und <math>\pi-u</math> dieselben Winkel sind)
-	We obtain all the angles ''v'' which satisfy (*) by adding multiples of <math>2\pi</math>,	+	Wir erhalten die allgemeine Lösung, indem wir ein Vielfaches von <math>2\pi</math> zur Lösung addieren:
-	{{Displayed math||<math>v = u+2n\pi\qquad\text{and}\qquad v = \pi-u+2n\pi\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>v = u+2n\pi\qquad\text{und}\qquad v = \pi-u+2n\pi\,.</math>}}
-	where ''n'' is an arbitrary integer.	+	Für unsere Gleichung
-	If we now go back to our equation	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 3x = \sin x</math>}}
-	{{Displayed math||<math>\sin 3x = \sin x</math>}}	+	erhalten wir die Lösungen
-	the reasoning above shows that the equation is only satisfied when	+	{{Abgesetzte Formel||<math>3x = x+2n\pi\qquad\text{oder}\qquad 3x = \pi-x+2n\pi\,\textrm{.}</math>}}
-	{{Displayed math||<math>3x = x+2n\pi\qquad\text{or}\qquad 3x = \pi-x+2n\pi\,\textrm{.}</math>}}	+	Lösen wir ''x'', erhalten wir
-	If we make ''x'' the subject of each equation, we obtain the full solution to the equation,	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-		+
-	{{Displayed math||<math>\left\{\begin{align}	+
	x &= 0+n\pi\,,\\[5pt]		x &= 0+n\pi\,,\\[5pt]
	x &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,\textrm{.}		x &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,\textrm{.}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}

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Aktuelle Version

Betrachten wir die Gleichung

\displaystyle \sin u = \sin v,

(*)

wobei u eine Konstante ist, gibt es zwei Lösungen für diese Gleichung, nämlich

\displaystyle v=u\qquad\text{und}\qquad v=\pi-u\,\textrm{.}

(Die einzige Ausnahme ist, wenn \displaystyle u = \pi/2 oder \displaystyle u=3\pi/2, da in diesen Fällen \displaystyle u und \displaystyle \pi-u dieselben Winkel sind)

Wir erhalten die allgemeine Lösung, indem wir ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi zur Lösung addieren:

\displaystyle v = u+2n\pi\qquad\text{und}\qquad v = \pi-u+2n\pi\,.

Für unsere Gleichung

\displaystyle \sin 3x = \sin x

erhalten wir die Lösungen

\displaystyle 3x = x+2n\pi\qquad\text{oder}\qquad 3x = \pi-x+2n\pi\,\textrm{.}

Lösen wir x, erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align} x &= 0+n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,\textrm{.} \end{align}\right.