Lösung 4.4:4

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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The idea is first to find the general solution to the equation and then to see which angles lie between <math>0^{\circ}</math> and <math>360^{\circ}\,</math>.
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Wir finden zuerst die allgemeine Lösung der Gleichung und prüfen anschließend, welche der Winkel im Intervall zwischen <math>0^{\circ}</math> und <math>360^{\circ}\,</math> liegen.
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If we start by considering the expression <math>2v+10^{\circ}</math> as an unknown, then we have a usual basic trigonometric equation. One solution which we can see directly is
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Wir betrachten zuerst den Ausdruck <math>2v+10^{\circ}</math> und erhalten die Lösung
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{{Displayed math||<math>2v + 10^{\circ} = 110^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>2v + 10^{\circ} = 110^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}
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There is then a further solution which satisfies <math>0^{\circ}\le 2v + 10^{\circ}\le 360^{\circ}</math>, where <math>2v+10^{\circ}</math> lies in the third quadrant and makes the same angle with the negative ''y''-axis as <math>100^{\circ}</math> makes with the positive ''y''-axis, i.e. <math>2v + 10^{\circ}</math> makes an angle <math>110^{\circ} - 90^{\circ} = 20^{\circ}</math>
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Es gibt noch eine weitere Lösung im Einheitskreis mit demselben Winkel zur negativen ''y''-Achse wie der Winkel <math>110^{\circ}</math> zur positiven ''y''-Achse hat, nämlich im dritten Quadranten, und zwar mit umgekehrtem Vorzeichen. Daher erhalten wir die zweite Lösung
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with the negative ''y''-axis and consequently
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{{Displayed math||<math>2v + 10^{\circ} = 270^{\circ} - 20^{\circ} = 250^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>2v + 10^{\circ} = 270^{\circ} - 20^{\circ} = 250^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}
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[[Image:4_4_4.gif|center]]
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<center>{{:4.4.4 - Solution - Two unit circles with angles 110° and 250°, respectively}}</center>
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Now it is easy to write down the general solution,
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Die allgemeine Lösung ist
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{{Displayed math||<math>\left\{\begin{align} 2v + 10^{\circ} &= 110^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\quad\text{and}\\[5pt] 2v + 10^{\circ} &= 250^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\,,\end{align}\right.</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} 2v + 10^{\circ} &= 110^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\quad\text{und}\\[5pt] 2v + 10^{\circ} &= 250^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\,.\end{align}\right.</math>}}
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and if we make ''v'' the subject, we get
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Lösen wir nach ''w'' auf, erhalten wir
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{{Displayed math||<math>\left\{\begin{align} v &= 50^{\circ} + n\cdot 180^{\circ}\quad\text{and}\\[5pt] v &= 120^{\circ} + n\cdot 180^{\circ}\end{align}\right.</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} v &= 50^{\circ} + n\cdot 180^{\circ}\quad\text{und}\\[5pt] v &= 120^{\circ} + n\cdot 180^{\circ}\end{align}\right.</math>}}
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For different values of the integers ''n'', we see that the corresponding solutions are:
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Für verschiedene ''n'' erhalten wir unter anderem die Lösungen
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From the table, we see that the solutions that are between <math>0^{\circ}</math> and <math>360^{\circ}</math> are
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Hieraus erkennen wir die Lösungen, die im Intervall von <math>0^{\circ}</math> bis <math>360^{\circ}</math> liegen:
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{{Displayed math||<math>v = 50^{\circ},\quad v=120^{\circ },\quad v=230^{\circ}\quad\text{and}\quad v=300^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>v = 50^{\circ},\quad v=120^{\circ },\quad v=230^{\circ}\quad\text{und}\quad v=300^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Wir finden zuerst die allgemeine Lösung der Gleichung und prüfen anschließend, welche der Winkel im Intervall zwischen \displaystyle 0^{\circ} und \displaystyle 360^{\circ}\, liegen.

Wir betrachten zuerst den Ausdruck \displaystyle 2v+10^{\circ} und erhalten die Lösung

\displaystyle 2v + 10^{\circ} = 110^{\circ}\,\textrm{.}

Es gibt noch eine weitere Lösung im Einheitskreis mit demselben Winkel zur negativen y-Achse wie der Winkel \displaystyle 110^{\circ} zur positiven y-Achse hat, nämlich im dritten Quadranten, und zwar mit umgekehrtem Vorzeichen. Daher erhalten wir die zweite Lösung

\displaystyle 2v + 10^{\circ} = 270^{\circ} - 20^{\circ} = 250^{\circ}\,\textrm{.}

[Image]

Die allgemeine Lösung ist

\displaystyle \left\{\begin{align} 2v + 10^{\circ} &= 110^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\quad\text{und}\\[5pt] 2v + 10^{\circ} &= 250^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\,.\end{align}\right.

Lösen wir nach w auf, erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align} v &= 50^{\circ} + n\cdot 180^{\circ}\quad\text{und}\\[5pt] v &= 120^{\circ} + n\cdot 180^{\circ}\end{align}\right.

Für verschiedene n erhalten wir unter anderem die Lösungen


\displaystyle \cdots\cdots \displaystyle \cdots\cdots \displaystyle \cdots\cdots
\displaystyle n=-2:   \displaystyle v = 50^{\circ} - 2\cdot 180^{\circ} = -310^{\circ}   \displaystyle v = 120^{\circ } - 2\cdot 180^{\circ} = -240^{\circ}
\displaystyle n=-1: \displaystyle v = 50^{\circ} - 1\cdot 180^{\circ} = -130^{\circ} \displaystyle v = 120^{\circ} - 1\cdot 180^{\circ} = -60^{\circ}
\displaystyle n=0: \displaystyle v = 50^{\circ} + 0\cdot 180^{\circ} = 50^{\circ} \displaystyle v = 120^{\circ} + 0\cdot 180^{\circ} = 120^{\circ}
\displaystyle n=1: \displaystyle v = 50^{\circ} + 1\cdot 180^{\circ} = 230^{\circ} \displaystyle v = 120^{\circ} + 1\cdot 180^{\circ} = 300^{\circ}
\displaystyle n=2: \displaystyle v = 50^{\circ} + 2\cdot 180^{\circ} = 410^{\circ} \displaystyle v = 120^{\circ} + 2\cdot 180^{\circ} = 480^{\circ}
\displaystyle n=3: \displaystyle v = 50^{\circ} + 3\cdot 180^{\circ} = 590^{\circ} \displaystyle v = 120^{\circ} + 3\cdot 180^{\circ} = 660^{\circ}
\displaystyle \cdots\cdots \displaystyle \cdots\cdots \displaystyle \cdots\cdots


Hieraus erkennen wir die Lösungen, die im Intervall von \displaystyle 0^{\circ} bis \displaystyle 360^{\circ} liegen:

\displaystyle v = 50^{\circ},\quad v=120^{\circ },\quad v=230^{\circ}\quad\text{und}\quad v=300^{\circ}\,\textrm{.}
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