Lösung 4.2:9
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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- | + | Wir betrachten das Dreieck im unteren Bild. Der gesuchte Abstand ist die Hypotenuse ''c''. | |
- | + | <center>{{:4.2.9 - Solution - An auxiliary triangle with vertices A to B}}</center> | |
- | + | Die Hypotenuse können wir durch den Satz des Pythagoras bestimmen | |
- | {{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>c^2 = a^2 + b^2\,\textrm{.}</math>}} |
- | + | Wir können die Katheten bestimmen, indem wir das Dreieck APR im nächsten Bild betrachten. | |
- | + | <center>{{:4.2.9 - Solution - An auxiliary triangle with vertices A to P}}</center> | |
- | + | Nachdem <math>\text{AP}=4</math>, erhalten wir einfach ''x'' und ''y'': | |
- | {{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} |
x &= 4\sin 30^{\circ } = 4\cdot \frac{1}{2} = 2,\\[5pt] | x &= 4\sin 30^{\circ } = 4\cdot \frac{1}{2} = 2,\\[5pt] | ||
y &= 4\cos 30^{\circ } = 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\,\textrm{.} | y &= 4\cos 30^{\circ } = 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\,\textrm{.} | ||
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
- | + | Mit ''x'' und ''y'' erhalten wir die Katheten ''a'' und ''b'', indem wir die horizontalen und vertikalen Abstände in der Figur betrachten. | |
{| align="center" | {| align="center" | ||
- | | align="center" | | + | | align="center" valign="center"|<math>\begin{align}a &= x+5 = 2+5 = 7,\\ b &= 12-y = 12-2\sqrt{3}.\end{align}</math> |
| width="20px"| | | width="20px"| | ||
- | | align="center" | + | | align="center" valign="center"|{{:4.2.9 - Solution - A figure with horizontal distances a, x and 5, and vertical distances 12, b and y}} |
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|} | |} | ||
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+ | Mit ''a'' und ''b'' erhalten wir c durch den Satz des Pythagoras | ||
- | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | |
- | + | ||
- | {{ | + | |
c &= \sqrt{a^2+b^2}\\[5pt] | c &= \sqrt{a^2+b^2}\\[5pt] | ||
&= \sqrt{7^2+(12-2\sqrt{3})^2}\\[5pt] | &= \sqrt{7^2+(12-2\sqrt{3})^2}\\[5pt] | ||
&= \sqrt{49+(12^2-2\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2)}\\[5pt] | &= \sqrt{49+(12^2-2\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2)}\\[5pt] | ||
- | &= \sqrt{205- | + | &= \sqrt{205-48\sqrt{3}}\\[5pt] |
&\approx 11\textrm{.}0\ \text{km}\textrm{.} | &\approx 11\textrm{.}0\ \text{km}\textrm{.} | ||
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} |
Aktuelle Version
Wir betrachten das Dreieck im unteren Bild. Der gesuchte Abstand ist die Hypotenuse c.
Die Hypotenuse können wir durch den Satz des Pythagoras bestimmen
\displaystyle c^2 = a^2 + b^2\,\textrm{.} |
Wir können die Katheten bestimmen, indem wir das Dreieck APR im nächsten Bild betrachten.
Nachdem \displaystyle \text{AP}=4, erhalten wir einfach x und y:
\displaystyle \begin{align}
x &= 4\sin 30^{\circ } = 4\cdot \frac{1}{2} = 2,\\[5pt] y &= 4\cos 30^{\circ } = 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\,\textrm{.} \end{align} |
Mit x und y erhalten wir die Katheten a und b, indem wir die horizontalen und vertikalen Abstände in der Figur betrachten.
\displaystyle \begin{align}a &= x+5 = 2+5 = 7,\\ b &= 12-y = 12-2\sqrt{3}.\end{align} |
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Mit a und b erhalten wir c durch den Satz des Pythagoras
\displaystyle \begin{align}
c &= \sqrt{a^2+b^2}\\[5pt] &= \sqrt{7^2+(12-2\sqrt{3})^2}\\[5pt] &= \sqrt{49+(12^2-2\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2)}\\[5pt] &= \sqrt{205-48\sqrt{3}}\\[5pt] &\approx 11\textrm{.}0\ \text{km}\textrm{.} \end{align} |