Lösung 4.2:3f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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The point on the unit circle which corresponds to the angle <math>-\pi/6</math> lies in the fourth quadrant.
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Der Punkt auf den Einheitskreis, der dem Winkel <math>-\pi/6</math> entspricht, liegt im vierten Quadranten:
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[[Image:4_2_3_f1.gif||center]]
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<center>{{:4.2.3f - Solution - The unit circle with angle -π/6}}</center>
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As usual, <math>\cos (-\pi/6)</math> gives the ''x''-coordinate of the point of intersection between the angle's line and the unit circle. In order to determine this point, we introduce an auxiliary triangle in the fourth quadrant.
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Wir betrachten ein Dreieck im vierten Quadranten:
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[[Image:4_2_3_f2.gif||center]]
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<center>{{:4.2.3f - Solution - An auxiliary triangle in the fourth quadrant}}</center>
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We can determine the edges in this triangle by simple trigonometry and then translate these over to the point's coordinates.
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Wir berechnen zuerst die Katheten des Dreieckes und danach die Koordinaten des Punktes.
{| width="100%"
{| width="100%"
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|width="50%" align="center"|[[Image:4_2_3_f3.gif]]
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|width="50%" align="center"|{{:4.2.3f - Solution - A triangle with hypotenuse 1 and angle π/6}}
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|width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{opposite} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{adjacent} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}</math>
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|width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}</math>
|}
|}
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The coordinates of the point of intersection are <math>(\sqrt{3}/2,-1/2)</math> and in particular <math>\cos (-\pi/6) = \sqrt{3}/2\,</math>.
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Die Koordinaten des Punktes auf den Einheitskreis entsprechen dem Winkel <math>-\pi/6</math> und sind also <math>(\sqrt{3}/2,-1/2)</math>. Inbesondere ist <math>\cos (-\pi/6) = \sqrt{3}/2\,</math>.

Aktuelle Version

Der Punkt auf den Einheitskreis, der dem Winkel \displaystyle -\pi/6 entspricht, liegt im vierten Quadranten:

[Image]

Wir betrachten ein Dreieck im vierten Quadranten:

[Image]

Wir berechnen zuerst die Katheten des Dreieckes und danach die Koordinaten des Punktes.

[Image]

\displaystyle \begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}

Die Koordinaten des Punktes auf den Einheitskreis entsprechen dem Winkel \displaystyle -\pi/6 und sind also \displaystyle (\sqrt{3}/2,-1/2). Inbesondere ist \displaystyle \cos (-\pi/6) = \sqrt{3}/2\,.

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