Lösung 3.4:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (09:09, 6. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
(englisches Wort)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 5 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
If we write the equation as
+
Wir schreiben die Gleichung als
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(e^{x}\bigr)^{2} + e^{x} = 4</math>}}
 +
und sehen, dass <math>x</math> nur in den <math>e^{x}</math>-Termen vorkommt. Daher betrachten wir <math>e^{x}</math> als unbekannte Variable. Wenn wir <math>e^{x}</math> bestimmt haben, bestimmen wir <math>x</math>, indem wir die Gleichung logarithmieren.
-
<math>\left( e^{x} \right)^{2}+e^{x}=4</math>
+
Um die Rechnungen zu vereinfachen, schreiben wir <math>t=e^{x}</math> und erhalten so die Gleichung
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>t^{2}+t=4</math>}}
-
we see that
+
Diese quadratische Gleichung lösen wir durch quadratische Ergänzung,
-
<math>x</math>
+
-
appears only in the combination
+
-
<math>e^{x}</math>
+
-
and it is therefore appropriate to treat
+
-
<math>e^{x}</math>
+
-
as a new unknown in the equation and then, when we have obtained the value of
+
-
<math>e^{x}</math>, we can calculate the corresponding value of
+
-
<math>x</math>
+
-
by simply taking the logarithm.
+
-
For clarity, we set
+
{{Abgesetzte Formel||<math>t^{2}+t = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2}-\Bigl( \frac{1}{2} \Bigr)^{2} = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2} - \frac{1}{4}\,,</math>}}
-
<math>t=e^{x}</math>, so that the equation can be written as
+
 +
und wir erhalten
-
<math>t^{2}+t=4</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(t+\frac{1}{2}\Bigr)^{2} - \frac{1}{4} = 4\quad \Leftrightarrow \quad t = -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}
 +
Die Wurzeln sind also zwei mögliche Werte für <math>e^{x}</math>,
-
and we solve this second-degree equation by completing the square,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\qquad\text{oder}\qquad e^{x} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}
 +
Im ersten Fall ist die rechte Seite der Gleichung negativ, und nachdem die linke Seite immer positiv ist, hat diese Gleichung keine Lösung.
 +
Im anderen Fall sind aber beide Seiten positiv, und wir logarithmieren beide Seiten und erhalten
-
<math>t^{2}+t=\left( t+\frac{1}{2} \right)^{2}-\left( \frac{1}{2} \right)^{2}=\left( t+\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{1}{4}</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\ln \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
 +
Hinweis: In diesem Fall ist es schwierig, die Lösung in der ursprünglichen Gleichung zu testen. Statt dessen testen wir, ob <math>t=\sqrt{17}/2-1/2</math> die Gleichung <math>t^2+t=4</math> erfüllt:
-
which gives
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
 
+
\text{Linke Seite}
-
 
+
&= \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\\[5pt]
-
<math>\left( t+\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{1}{4}=4\quad \Leftrightarrow \quad t=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}</math>
+
&= \frac{17}{4}-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{17}}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\\[5pt]
-
 
+
&= \frac{17}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\\[5pt]
-
 
+
&= \frac{17+1-2}{4}\\[5pt]
-
These two roots give us two possible values for
+
&=\frac{16}{4}\\[5pt]
-
<math>e^{x}</math>,
+
&= 4\\[5pt]
-
 
+
&= \text{Rechte Seite.}
-
 
+
\end{align}</math>}}
-
<math>e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}</math>
+
-
or
+
-
<math>e^{x}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
In the first case, the right-hand side is negative and because "
+
-
<math>e</math>
+
-
raised to anything" can never be negative, there is no
+
-
<math>x</math>
+
-
that can satisfy this equality. The other case, on the other hand, has a positive right-hand side (because
+
-
<math>\sqrt{17}>1</math>
+
-
) and we can take the logarithm of both sides to obtain
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x=\ln \left( \frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2} \right)</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
NOTE: It is a little tricky to check the answer to the original equation, so we can be satisfied with substituting
+
-
<math>t=\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}</math>
+
-
into the equation
+
-
<math>t^{\text{2}}+t=\text{4}</math>,
+
-
 
+
-
LHS
+
-
<math>=</math>
+
-
 
+
-
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& =\left( \frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2} \right)^{2}+\left( \frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2} \right)=\frac{17}{4}-2\centerdot \frac{1}{2}\centerdot \frac{\sqrt{17}}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2} \\
+
-
& =\frac{17}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{17+1-2}{4}=\frac{16}{4}=4= \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>=</math>
+
-
RHS.
+

Aktuelle Version

Wir schreiben die Gleichung als

\displaystyle \bigl(e^{x}\bigr)^{2} + e^{x} = 4

und sehen, dass \displaystyle x nur in den \displaystyle e^{x}-Termen vorkommt. Daher betrachten wir \displaystyle e^{x} als unbekannte Variable. Wenn wir \displaystyle e^{x} bestimmt haben, bestimmen wir \displaystyle x, indem wir die Gleichung logarithmieren.

Um die Rechnungen zu vereinfachen, schreiben wir \displaystyle t=e^{x} und erhalten so die Gleichung

\displaystyle t^{2}+t=4

Diese quadratische Gleichung lösen wir durch quadratische Ergänzung,

\displaystyle t^{2}+t = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2}-\Bigl( \frac{1}{2} \Bigr)^{2} = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2} - \frac{1}{4}\,,

und wir erhalten

\displaystyle \Bigl(t+\frac{1}{2}\Bigr)^{2} - \frac{1}{4} = 4\quad \Leftrightarrow \quad t = -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}

Die Wurzeln sind also zwei mögliche Werte für \displaystyle e^{x},

\displaystyle e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\qquad\text{oder}\qquad e^{x} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}

Im ersten Fall ist die rechte Seite der Gleichung negativ, und nachdem die linke Seite immer positiv ist, hat diese Gleichung keine Lösung. Im anderen Fall sind aber beide Seiten positiv, und wir logarithmieren beide Seiten und erhalten

\displaystyle x=\ln \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\,\textrm{.}

Hinweis: In diesem Fall ist es schwierig, die Lösung in der ursprünglichen Gleichung zu testen. Statt dessen testen wir, ob \displaystyle t=\sqrt{17}/2-1/2 die Gleichung \displaystyle t^2+t=4 erfüllt:

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\\[5pt] &= \frac{17}{4}-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{17}}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\\[5pt] &= \frac{17}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\\[5pt] &= \frac{17+1-2}{4}\\[5pt] &=\frac{16}{4}\\[5pt] &= 4\\[5pt] &= \text{Rechte Seite.} \end{align}

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.4:2b“