Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	Before we even start thinking about transforming <math>\log_2</math> and <math>\log_3</math> to ln, we use the log laws	+	Wir verwenden die Logarithmengesetze
-	{{Displayed math||<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-	\log a^b &= b\cdot\log a\,,\\[5pt]	+	\log a^b &= b\cdot\log a\,\text{und}\\[5pt]
	\log (a\cdot b) &= \log a+\log b\,,		\log (a\cdot b) &= \log a+\log b\,,
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	to simplify the expression	+	um den Ausdruck zu vereinfachen
-	{{Displayed math||<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
	\log_{3}\log _{2}3^{118}		\log_{3}\log _{2}3^{118}
	&= \log_{3}(118\cdot\log_{2}3)\\[5pt]		&= \log_{3}(118\cdot\log_{2}3)\\[5pt]
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	With help of the relation <math>2^{\log_{2}x} = x</math> and <math>3^{\log_{3}x} = x</math> and taking the natural logarithm , we can express <math>\log_{2}</math> and <math>\log_{3}</math> using ln,	+	Mit den Relationen <math>2^{\log_{2}x} = x</math> und <math>3^{\log_{3}x} = x</math> erhalten wir <math>\log_{2}</math> und <math>\log_{3}</math> als <math>\ln</math> ausgedrückt:
-	{{Displayed math||<math>\log_{2}x=\frac{\ln x}{\ln 2}\quad</math> and <math>\quad\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln 3}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\log_{2}x=\frac{\ln x}{\ln 2}\quad</math> und <math>\quad\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln 3}\,\textrm{.}</math>}}
-	The two terms <math>\log_3 118</math> and <math>\log_3\log_2 3</math> can therefore be written as	+	Die beiden Terme <math>\log_3 118</math> und <math>\log_3\log_2 3</math> können deshalb als
-	{{Displayed math||<math>\log_{3}118 = \frac{\ln 118}{\ln 3}\quad</math> and <math>\quad\log_{3}\log_{2}3 = \log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}118 = \frac{\ln 118}{\ln 3}\quad</math> und <math>\quad\log_{3}\log_{2}3 = \log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}\,</math>}}
-	where we can simplify the last expression further with the logarithm law, log (a/b) = log a – log b, and then transform <math>\log _{3}</math> to ln,	+	geschrieben werden. Mit Hilfe des Logarithmengesetzes log (a/b) = log a – log b können wir den Ausdruck weiter vereinfachen und danach <math>\log _{3}</math> in ln umzuwandeln:
-	{{Displayed math||<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
	\log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}		\log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}
	&= \log_{3}\ln 3 - \log_{3}\ln 2\\[5pt]		&= \log_{3}\ln 3 - \log_{3}\ln 2\\[5pt]
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	In all, we thus obtain	+	Zusammen erhalten wir
-	{{Displayed math||<math>\log_{3}\log_{2}3^{118} = \frac{\ln 118}{\ln 3} + \frac{\ln \ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}\log_{2}3^{118} = \frac{\ln 118}{\ln 3} + \frac{\ln \ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.}</math>}}
-	Input into the calculator gives	+	Mit den Rechner erhalten wir
-	{{Displayed math||<math>\log_{3}\log_{2}3^{118}\approx 4\textrm{.}762\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}\log_{2}3^{118}\approx 4\textrm{.}762\,\textrm{.}</math>}}
-	Note: The button sequence on the calculator will be:	+	Hinweis: auf dem Rechner schreiben wir

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Aktuelle Version

Wir verwenden die Logarithmengesetze

\displaystyle \begin{align} \log a^b &= b\cdot\log a\,\text{und}\\[5pt] \log (a\cdot b) &= \log a+\log b\,, \end{align}

um den Ausdruck zu vereinfachen

\displaystyle \begin{align} \log_{3}\log _{2}3^{118} &= \log_{3}(118\cdot\log_{2}3)\\[5pt] &= \log_{3}118 + \log_{3}\log_{2}3\,\textrm{.} \end{align}

Mit den Relationen \displaystyle 2^{\log_{2}x} = x und \displaystyle 3^{\log_{3}x} = x erhalten wir \displaystyle \log_{2} und \displaystyle \log_{3} als \displaystyle \ln ausgedrückt:

\displaystyle \log_{2}x=\frac{\ln x}{\ln 2}\quad und \displaystyle \quad\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln 3}\,\textrm{.}

Die beiden Terme \displaystyle \log_3 118 und \displaystyle \log_3\log_2 3 können deshalb als

\displaystyle \log_{3}118 = \frac{\ln 118}{\ln 3}\quad und \displaystyle \quad\log_{3}\log_{2}3 = \log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}\,

geschrieben werden. Mit Hilfe des Logarithmengesetzes log (a/b) = log a – log b können wir den Ausdruck weiter vereinfachen und danach \displaystyle \log _{3} in ln umzuwandeln:

\displaystyle \begin{align} \log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2} &= \log_{3}\ln 3 - \log_{3}\ln 2\\[5pt] &= \frac{\ln\ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.} \end{align}

Zusammen erhalten wir

\displaystyle \log_{3}\log_{2}3^{118} = \frac{\ln 118}{\ln 3} + \frac{\ln \ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.}

Mit den Rechner erhalten wir

\displaystyle \log_{3}\log_{2}3^{118}\approx 4\textrm{.}762\,\textrm{.}

Hinweis: auf dem Rechner schreiben wir

1		1		8		LN		÷		3		LN		+
3		LN		LN		÷		3		LN		-		2
LN		LN		÷		3		LN		=