Lösung 4.4:8c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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When we have a trigonometric equation which contains a mixture of different trigonometric functions, a useful strategy can be to rewrite the equation so that it is expressed in terms of just one of the functions. Sometimes, it is not easy to find a way to rewrite it, but in the present case a plausible way is to replace the “
+
Wir versuchen, die Gleichung durch trigonometrische Identitäten umzuschreiben, sodass sie nur eine trigonometrische Funktion enthält. Durch den trigonometrischen Pythagoras erhalten wir
-
<math>\text{1}</math>
+
-
” in the numerator of the left-hand side with
+
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<math>\text{sin}^{\text{2}}x+\text{cos}^{\text{2}}x\text{ }</math>
+
-
using the Pythagorean identity. This means that the equation's left-hand side can be written as
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\cos ^{2}x} = \frac{\cos^2\!x + \sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1 + \frac{\sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1+\tan^2\!x</math>}}
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<math>\frac{1}{\cos ^{2}x}=\frac{\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}=1+\frac{\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x</math>
+
Wir können die Gleichung in nur <math>\tan x</math>-Terme schreiben:
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>1 + \tan^2\!x = 1 - \tan x\,\textrm{.}</math>}}
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and the expression is then completely expressed in terms of tan x,
+
Benennen wir <math>t=\tan x</math>, erhalten wir eine quadratische Gleichung für ''t'', die vereinfacht <math>t^2+t=0</math> ist. Diese Gleichung hat die Lösungen <math>t=0</math> und <math>t=-1</math>. Daher muss ''x'' entweder die Gleichung <math>\tan x=0</math> oder die Gleichung <math>\tan x=-1\,</math> erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen <math>x=n\pi</math> und die zweite die Lösungen <math>x=3\pi/4+n\pi\,</math>.
-
 
+
-
 
+
-
<math>1+\tan ^{2}x=1-\tan x</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
If we substitute
+
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<math>t=\tan x</math>
+
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, we see that we have a second-degree equation in
+
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<math>t</math>
+
-
, which, after simplifying, becomes
+
-
<math>t^{\text{2}}\text{ }+t=0</math>
+
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and has roots
+
-
<math>t=0</math>
+
-
and
+
-
<math>t=-\text{1}</math>. There are therefore two possible values for
+
-
<math>\tan x</math>,
+
-
<math>\tan x=0</math>
+
-
tan x =0 or
+
-
<math>\tan x=-1</math>
+
-
The first equality is satisfied when
+
-
<math>x=n\pi </math>
+
-
for all integers
+
-
<math>n</math>, and the second when
+
-
<math>x=\frac{3\pi }{4}+n\pi </math>.
+
-
The complete solution of the equation is
+
Also erhalten wir zusammen die Lösungen
-
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
x &= n\pi\,\text{ und}\\[5pt]
-
x=n\pi \\
+
x &= \frac{3\pi}{4}+n\pi\,.
-
x=\frac{3\pi }{4}+n\pi \\
+
\end{align}\right.</math>}}
-
\end{array} \right.</math>
+
-
(
+
-
<math>n</math>
+
-
an arbitrary integer).
+

Aktuelle Version

Wir versuchen, die Gleichung durch trigonometrische Identitäten umzuschreiben, sodass sie nur eine trigonometrische Funktion enthält. Durch den trigonometrischen Pythagoras erhalten wir

\displaystyle \frac{1}{\cos ^{2}x} = \frac{\cos^2\!x + \sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1 + \frac{\sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1+\tan^2\!x

Wir können die Gleichung in nur \displaystyle \tan x-Terme schreiben:

\displaystyle 1 + \tan^2\!x = 1 - \tan x\,\textrm{.}

Benennen wir \displaystyle t=\tan x, erhalten wir eine quadratische Gleichung für t, die vereinfacht \displaystyle t^2+t=0 ist. Diese Gleichung hat die Lösungen \displaystyle t=0 und \displaystyle t=-1. Daher muss x entweder die Gleichung \displaystyle \tan x=0 oder die Gleichung \displaystyle \tan x=-1\, erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x=n\pi und die zweite die Lösungen \displaystyle x=3\pi/4+n\pi\,.

Also erhalten wir zusammen die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= n\pi\,\text{ und}\\[5pt] x &= \frac{3\pi}{4}+n\pi\,. \end{align}\right.

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