Lösung 4.4:8a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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If we use the formula for double angles,
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Wir verwenden die Doppelwinkelfunktion <math>\sin 2x = 2\sin x\cos x</math> und erhalten so
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<math>\text{sin 2}x=\text{2sin }x\text{ cos }x</math>, and move all the terms over to the left-hand side, the equation becomes
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0.</math>
+
Wir ziehen den gemeinsamen Faktor <math>\cos x</math> heraus:
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x\,(2\sin x-\sqrt{2}) = 0</math>}}
-
Then, we see that we can take a factor cos x out of both terms,
+
Wir erhalten zwei Fälle, für welche diese Gleichung erfüllt ist: Entweder ist <math>\cos x = 0</math> oder <math>2\sin x-\sqrt{2} = 0\,</math>.
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<math>\cos x\left( 2\sin x-\sqrt{2} \right)=0</math>
+
<math>\cos x = 0</math>:
-
 
+
Hat die allgemeine Lösung
-
and hence divide up the equation into two cases. The equation is satisfied either if
+
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<math>\text{cos }x=0\text{ }</math>
+
-
or if
+
-
<math>2\sin x-\sqrt{2}=0</math>.
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\text{cos }x=0\text{ }</math>: this equation has the general solution
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{2}+n\pi\qquad</math>}}
-
<math>x=\frac{\pi }{2}+n\pi </math>
 
-
(
 
-
<math>n</math>
 
-
an arbitrary integer)
 
 +
<math>2\sin x-\sqrt{2}=0</math>:
-
<math>2\sin x-\sqrt{2}=0</math>: If we collect
+
Ist dasselbe wie <math>\sin x = 1/\!\sqrt{2}</math> und hat deshalb die allgemeine Lösung
-
<math>\text{sin }x</math>
+
-
on the left-hand side, we obtain the equation
+
-
<math>\text{sin }x\text{ }={1}/{\sqrt{2}}\;</math>, which has the general solution
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
x &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\\[5pt]
 +
x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,,
 +
\end{align}\right.</math>}}
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
 
-
x=\frac{\pi }{4}+2n\pi \\
 
-
x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi \\
 
-
\end{array} \right.</math>
 
-
(
 
-
<math>n</math>
 
-
an arbitrary integer)
 
-
 
-
The complete solution of the equation is
 
 +
Also hat die ganze Gleichung die Lösungen
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-
x=\frac{\pi }{4}+2n\pi \\
+
x &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\\[5pt]
-
x=\frac{\pi }{2}+n\pi \\
+
x &= \frac{\pi}{2}+n\pi\,,\\[5pt]
-
x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi \\
+
x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,,
-
\end{array} \right.</math>
+
\end{align}\right.</math>}}
-
(
+
-
<math>n</math>
+
-
an arbitrary integer).
+

Aktuelle Version

Wir verwenden die Doppelwinkelfunktion \displaystyle \sin 2x = 2\sin x\cos x und erhalten so

\displaystyle 2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0\,\textrm{.}

Wir ziehen den gemeinsamen Faktor \displaystyle \cos x heraus:

\displaystyle \cos x\,(2\sin x-\sqrt{2}) = 0

Wir erhalten zwei Fälle, für welche diese Gleichung erfüllt ist: Entweder ist \displaystyle \cos x = 0 oder \displaystyle 2\sin x-\sqrt{2} = 0\,.


\displaystyle \cos x = 0:

Hat die allgemeine Lösung

\displaystyle x = \frac{\pi}{2}+n\pi\qquad


\displaystyle 2\sin x-\sqrt{2}=0:

Ist dasselbe wie \displaystyle \sin x = 1/\!\sqrt{2} und hat deshalb die allgemeine Lösung

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,, \end{align}\right.


Also hat die ganze Gleichung die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{2}+n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,, \end{align}\right.

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