Lösung 4.4:7b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
If we use the Pythagorean identity and write
+
Wir verwenden den trigonometrischen Pythagoras und schreiben <math>\sin^2\!x</math> als <math>1-\cos^2\!x</math>. Wir erhalten die Gleichung
-
<math>\sin ^{2}x</math>
+
-
as
+
-
<math>1-\cos ^{2}x</math>, the whole equation written in terms of
+
-
<math>\cos x</math>
+
-
becomes
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2(1-\cos^2\!x) - 3\cos x = 0\,</math>}}
-
<math>2\left( 1-\cos ^{2}x \right)-3\cos x=0</math>
+
oder auch
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos^2\!x + 3\cos x - 2 = 0\,\textrm{.}</math>}}
-
<math></math>
+
Wir betrachten diese Gleichung nun als eine in der Unbekannten <math>\cos x</math> und schreiben stattdessen
-
or, in rearranged form,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2t^2+3t-2 = 0</math>}}
 +
mit <math>\cos x=t\,.</math>
-
<math>2\cos ^{2}x+3\cos x-2=0</math>
+
Dies ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen <math>t=\tfrac{1}{2}</math> und <math>t=-2\,</math>.
 +
Also muss ''x'' einer der Gleichungen <math>\cos x = \tfrac{1}{2}</math> oder <math>\cos x = -2</math> erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen
-
With the equation expressed entirely in terms of
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\pm \frac{\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}}
-
<math>\cos x</math>, we can introduce a new unknown variable
+
-
<math>t=\cos x</math>
+
-
and solve the equation with respect to
+
-
<math>t</math>. Expressed in terms of
+
-
<math>t</math>, the equation is
+
 +
während die zweite Gleichung <math>\cos x = -2</math> keine Lösungen hat.
-
<math>2t^{2}+3t-2=0</math>
+
Also hat die Gleichung die Lösungen
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi\,,</math>}}
-
and this second-degree equation has the solutions
+
-
<math>t=\frac{1}{2}</math>
+
-
and
+
-
<math>t=-2</math>
+
-
.
+
-
 
+
-
In terms of
+
-
<math>x</math>, this means that either
+
-
<math>\cos x=\frac{1}{2}</math>
+
-
or
+
-
<math>\text{cos }x=-\text{2}</math>. The first case occurs when
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x=\pm \frac{\pi }{3}+2n\pi </math>
+
-
(
+
-
<math>n</math>
+
-
an arbitrary integer),
+
-
 
+
-
whilst the equation
+
-
<math>\text{cos }x=-\text{2 }</math>
+
-
has no solutions at all (the values of cosine lie between
+
-
<math>-\text{1 }</math>
+
-
and
+
-
<math>\text{1}</math>
+
-
).
+
-
 
+
-
The answer is that the equation has the solutions
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x=\pm \frac{\pi }{3}+2n\pi </math>
+
-
(
+
-
<math>n</math>
+
-
an arbitrary integer).
+

Aktuelle Version

Wir verwenden den trigonometrischen Pythagoras und schreiben \displaystyle \sin^2\!x als \displaystyle 1-\cos^2\!x. Wir erhalten die Gleichung

\displaystyle 2(1-\cos^2\!x) - 3\cos x = 0\,

oder auch

\displaystyle 2\cos^2\!x + 3\cos x - 2 = 0\,\textrm{.}

Wir betrachten diese Gleichung nun als eine in der Unbekannten \displaystyle \cos x und schreiben stattdessen

\displaystyle 2t^2+3t-2 = 0

mit \displaystyle \cos x=t\,.

Dies ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen \displaystyle t=\tfrac{1}{2} und \displaystyle t=-2\,.

Also muss x einer der Gleichungen \displaystyle \cos x = \tfrac{1}{2} oder \displaystyle \cos x = -2 erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle x=\pm \frac{\pi}{3}+2n\pi\,,

während die zweite Gleichung \displaystyle \cos x = -2 keine Lösungen hat.

Also hat die Gleichung die Lösungen

\displaystyle x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi\,,
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