Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	After squaring both sides, we obtain the equation	+	Nachdem wir beide Seiten quadrieren, erhalten wir die Gleichung
-	{{Displayed math||<math>3x-2 = (2-x)^2</math>|(*)}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>3x-2 = (2-x)^2\,.</math>|(*)}}
-	and if we expand the right-hand side and then collect the terms, we get	+	Wir erweitern die rechte Seite und erhalten
-	{{Displayed math||<math>x^{2}-7x+6=0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+6=0\,\textrm{.}</math>}}
-	Completing the square of the left-hand side, we obtain	+	Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
-	{{Displayed math||<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
	x^{2}-7x+6		x^{2}-7x+6
	&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2+6\\[5pt]		&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2+6\\[5pt]
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	which means that the equation can be written as	+	Also kann die Gleichung wie
-	{{Displayed math||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 = \frac{25}{4}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 = \frac{25}{4}</math>}}
-	and the solutions are therefore	+	geschrieben werden und hat deshalb die Wurzeln
	:*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6\,,</math>		:*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6\,,</math>
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	:*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} = 1\,\textrm{.}</math>		:*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} = 1\,\textrm{.}</math>
-	Substituting <math>x=1</math> and <math>x=6</math> into the quadratic equation (*) shows that we have solved the equation correctly.	+	Ersetzen wir <math>x=1</math> und <math>x=6</math> in der quadratischen Gleichung (*), sehen wir dass die Wurzeln richtig sind.
-	:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{LHS} = 3\cdot 1-2 = 1\ </math> and <math>\ \text{RHS} = (2-1)^2 = 1</math>	+	:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{Linke Seite} = 3\cdot 1-2 = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (2-1)^2 = 1</math>
-	:*''x''&nbsp;=&nbsp;6: <math>\ \text{LHS} = 3\cdot 6-2 = 16\ </math> and <math>\ \text{RHS} = (2-6)^2 = 16</math>	+	:*''x''&nbsp;=&nbsp;6: <math>\ \text{Linke Seite} = 3\cdot 6-2 = 16\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (2-6)^2 = 16</math>
-	Finally, we need to sort away possible spurious roots to the root equation by verifying the solutions.	+	Schließlich kontrollieren wir die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um Scheinlösungen zu entdecken.
-	:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{LHS} = \sqrt{3\cdot 1-2} = 1\ </math> and <math>\ \text{RHS} = 2-1 = 1</math>	+	:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 1-2} = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 2-1 = 1</math>
-	:*''x''&nbsp;=&nbsp;6: <math>\ \text{LHS} = \sqrt{3\cdot 6-2} = 4\ </math> and <math>\ \text{RHS} = 2-6 = -4</math>	+	:*''x''&nbsp;=&nbsp;6: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 6-2} = 4\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 2-6 = -4</math>
-	This shows that the root equation has the solution <math>x=1\,</math>.	+	Also hat die Gleichung die Lösung <math>x=1\,</math>.

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Aktuelle Version

Nachdem wir beide Seiten quadrieren, erhalten wir die Gleichung

\displaystyle 3x-2 = (2-x)^2\,.

(*)

Wir erweitern die rechte Seite und erhalten

\displaystyle x^{2}-7x+6=0\,\textrm{.}

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align} x^{2}-7x+6 &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2+6\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{24}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{25}{4} \end{align}

Also kann die Gleichung wie

\displaystyle \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 = \frac{25}{4}

geschrieben werden und hat deshalb die Wurzeln

• \displaystyle x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6\,,

• \displaystyle x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} = 1\,\textrm{.}

Ersetzen wir \displaystyle x=1 und \displaystyle x=6 in der quadratischen Gleichung (*), sehen wir dass die Wurzeln richtig sind.

• x = 1: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 1-2 = 1\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (2-1)^2 = 1

• x = 6: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 6-2 = 16\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (2-6)^2 = 16

Schließlich kontrollieren wir die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um Scheinlösungen zu entdecken.

• x = 1: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 1-2} = 1\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 2-1 = 1

• x = 6: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 6-2} = 4\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 2-6 = -4

Also hat die Gleichung die Lösung \displaystyle x=1\,.