Lösung 3.2:3

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
First, we move the 2 to the right-hand side to get <math>\sqrt{3x-8}=x-2</math> and then square away the root sign,
+
Wir subtrahieren zuerst 2 von beiden Seiten und erhalten so die Gleichung <math>\sqrt{3x-8}=x-2</math>, die wir quadrieren:
-
{{Displayed math||<math>3x-8 = (x-2)^{2}</math>|(*)}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>3x-8 = (x-2)^{2}\,.</math>|(*)}}
-
or, with the right-hand side expanded
+
Wir erweitern die rechte Seite
-
{{Displayed math||<math>3x-8=x^{2}-4x+4\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>3x-8=x^{2}-4x+4\,\textrm{.}</math>}}
-
If we move over all the terms to the left-hand side, we get
+
Wenn wir alle Terme auf der linken Seite sammeln, erhalten wir
-
{{Displayed math||<math>x^{2}-7x+12=0\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+12=0\,\textrm{.}</math>}}
-
If we complete the square of the left-hand side,
+
Mit quadratischer Ergänzung bekommen wir
-
{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
x^2-7x+12 &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2 + 12\\[5pt]
x^2-7x+12 &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2 + 12\\[5pt]
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{48}{4}\\[5pt]
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{48}{4}\\[5pt]
Zeile 19: Zeile 19:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
the equation can be written as
+
Wir können die Gleichung umschreiben
-
{{Displayed math||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}</math>}}
-
and the solutions are
+
und sehen, dass die Lösungen
:*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4\,,</math>
:*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4\,,</math>
Zeile 29: Zeile 29:
:*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\textrm{.}</math>
:*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\textrm{.}</math>
-
To be on the safe side, we verify that <math>x=3</math> and <math>x=4</math> satisfy the squared equation (*)
+
sind. Wir kontrollieren zur Sicherheit, ob die Lösungen die quadratische Gleichung (*) erfüllen
{|
{|
||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;3:</li></ul>
||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;3:</li></ul>
-
||<math>\ \text{LHS} = 3\cdot 3-8 = 9-8 = 1</math> and
+
||<math>\ \text{Linke Seite} = 3\cdot 3-8 = 9-8 = 1</math> und
|-
|-
||
||
-
||<math>\ \text{RHS} = (3-2)^2 = 1</math>
+
||<math>\ \text{Rechte Seite} = (3-2)^2 = 1</math>
|-
|-
||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;4:</li></ul>
||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;4:</li></ul>
-
||<math>\ \text{LHS} = 3\cdot 4-8 = 12-8 = 4</math> and
+
||<math>\ \text{Linke Seite} = 3\cdot 4-8 = 12-8 = 4</math> und
|-
|-
||
||
-
||<math>\ \text{RHS} = (4-2)^2 = 4</math>
+
||<math>\ \text{Rechte Seite} = (4-2)^2 = 4</math>
|}
|}
-
Because we squared the root equation, possible spurious roots turn up and we therefore have to verify the solutions when we go back to the original root equation:
+
Nachdem wir unsere Gleichung quadriert haben, müssen wir unbedingt testen, ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen:
{|
{|
||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;3:</li></ul>
||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;3:</li></ul>
-
||<math>\ \text{LHS} = \sqrt{3\cdot 3-8} + 2 = \sqrt{9-8} + 2 = 1+2 = 3</math> and
+
||<math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 3-8} + 2 = \sqrt{9-8} + 2 = 1+2 = 3</math> und
|-
|-
||
||
-
||<math>\ \text{RHS} = 3</math>
+
||<math>\ \text{Rechte Seite} = 3</math>
|-
|-
||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;4:</li></ul>
||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;4:</li></ul>
-
||<math>\ \text{LHS} = \sqrt{3\cdot 4-8}-2 = \sqrt{12-8}+2 = 2+2 = 4</math> and
+
||<math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 4-8} + 2 = \sqrt{12-8}+2 = 2+2 = 4</math> und
|-
|-
||
||
-
||<math>\ \text{RHS} = 4</math>
+
||<math>\ \text{Rechte Seite} = 4</math>
|}
|}
-
 
+
Die Lösungen sind also <math>x=3</math> und <math>x=4</math>.
-
The solutions to the root equation are <math>x=3</math> and <math>x=4</math>.
+

Aktuelle Version

Wir subtrahieren zuerst 2 von beiden Seiten und erhalten so die Gleichung \displaystyle \sqrt{3x-8}=x-2, die wir quadrieren:

\displaystyle 3x-8 = (x-2)^{2}\,. (*)

Wir erweitern die rechte Seite

\displaystyle 3x-8=x^{2}-4x+4\,\textrm{.}

Wenn wir alle Terme auf der linken Seite sammeln, erhalten wir

\displaystyle x^{2}-7x+12=0\,\textrm{.}

Mit quadratischer Ergänzung bekommen wir

\displaystyle \begin{align}

x^2-7x+12 &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2 + 12\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{48}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} \end{align}

Wir können die Gleichung umschreiben

\displaystyle \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}

und sehen, dass die Lösungen

  • \displaystyle x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4\,,
  • \displaystyle x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\textrm{.}

sind. Wir kontrollieren zur Sicherheit, ob die Lösungen die quadratische Gleichung (*) erfüllen

  • x = 3:
\displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 3-8 = 9-8 = 1 und
\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (3-2)^2 = 1
  • x = 4:
\displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 4-8 = 12-8 = 4 und
\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (4-2)^2 = 4

Nachdem wir unsere Gleichung quadriert haben, müssen wir unbedingt testen, ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen:

  • x = 3:
\displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 3-8} + 2 = \sqrt{9-8} + 2 = 1+2 = 3 und
\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 3
  • x = 4:
\displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 4-8} + 2 = \sqrt{12-8}+2 = 2+2 = 4 und
\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 4

Die Lösungen sind also \displaystyle x=3 und \displaystyle x=4.

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