Lösung 4.4:6b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
After moving the terms over to the left-hand side, so that
+
Ziehen wir alle Terme zu einer Seite der Gleichung, erhalten wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{2}\sin x\cos x-\cos x=0</math>}}
-
<math>\sqrt{2}\sin x\cos x-\cos x=0</math>
+
wo wir den Faktor <math>\cos x</math> herausziehen können,
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x (\sqrt{2}\sin x-1) = 0</math>}}
-
we see that we can take out a common factor
+
Die Gleichung ist nur erfüllt, wenn einer der Faktoren <math>\cos x</math> oder <math>\sqrt{2}\sin x - 1</math> null ist. Also gibt es zwei Fälle:
-
<math>\text{cos }x</math>,
+
-
<math>\cos x\left( \sqrt{2}\sin x-1 \right)=0</math>
+
<math>\cos x=0:</math>
 +
Diese Gleichung hat die Lösungen <math>x=\pi/2</math> und <math>x=3\pi/2</math> auf dem Einheitskreis. Die allgemeine Lösung ist
-
and that the equation is only satisfied if at least one of the factors,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi\,,</math>}}
-
<math>\text{cos }x</math>
+
-
or
+
-
<math>\sqrt{2}\text{sin }x-\text{1}</math>
+
-
is zero. Thus, there are two cases:
+
 +
Nachdem sich die Winkel <math>\pi/2</math> und
 +
<math>3\pi/2</math> nur um <math>\pi</math> unterscheiden, ist die allgemeine Lösung auch
-
<math>\text{cos }x=0</math>: This basic equation has solutions
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+n\pi\,,</math>}}
-
<math>x={\pi }/{2}\;</math>
+
-
and
+
-
<math>x=3{\pi }/{2}\;</math>
+
-
in the unit circle, and from this we see that the general solution is
+
-
<math>x=\frac{\pi }{2}+2n\pi </math>
 
-
and
 
-
<math>x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi </math>
 
-
where
+
<math>\sqrt{2}\sin x - 1 = 0:</math>
-
<math>n\text{ }</math>
+
-
is an arbitrary integer. Because the angles
+
-
<math>{\pi }/{2}\;</math>
+
-
and
+
-
<math>3{\pi }/{2}\;</math>
+
-
differ by
+
-
<math>\pi </math>, the solutions can be summarized as
+
-
+
Die Gleichung entspricht <math>\sin x = 1/\!\sqrt{2}</math> mit den Lösungen <math>x=\pi/4</math> und <math>x=3\pi /4</math> auf dem Einheitskreis und den allgemeinen Lösungen
-
<math>x=\frac{\pi }{2}+n\pi </math>
+
-
(
+
-
<math>n</math>
+
-
an arbitrary integer).
+
-
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{4}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi\,,</math>}}
-
<math>\sqrt{2}\text{sin }x-\text{1}=0</math>
+
-
: if we rearrange the equation, we obtain the basic equation as
+
-
<math>\text{sin }x\text{ }={1}/{\sqrt{2}}\;</math>, which has the solutions
+
-
<math>x={\pi }/{4}\;</math>
+
-
and
+
-
<math>x=3{\pi }/{4}\;</math>
+
-
in the unit circle and hence the general solution
+
-
<math>x=\frac{\pi }{4}+2n\pi </math>
+
Also hat die Gleichung die Lösungen
-
and
+
-
<math>x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi </math>
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-
where
+
x &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\\[5pt]
-
<math>n\text{ }</math>
+
x &= \frac{\pi}{2}+n\pi\,,\\[5pt]
-
can arbitrary integer.
+
x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,,
-
 
+
\end{align}\right.</math>}}
-
All in all, the original equation has the solutions
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=\frac{\pi }{4}+2n\pi \\
+
-
x=\frac{\pi }{2}+n\pi \\
+
-
x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
(
+
-
<math>n\text{ }</math>
+
-
an arbitrary integer).
+

Aktuelle Version

Ziehen wir alle Terme zu einer Seite der Gleichung, erhalten wir

\displaystyle \sqrt{2}\sin x\cos x-\cos x=0

wo wir den Faktor \displaystyle \cos x herausziehen können,

\displaystyle \cos x (\sqrt{2}\sin x-1) = 0

Die Gleichung ist nur erfüllt, wenn einer der Faktoren \displaystyle \cos x oder \displaystyle \sqrt{2}\sin x - 1 null ist. Also gibt es zwei Fälle:


\displaystyle \cos x=0:

Diese Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x=\pi/2 und \displaystyle x=3\pi/2 auf dem Einheitskreis. Die allgemeine Lösung ist

\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi\,,

Nachdem sich die Winkel \displaystyle \pi/2 und \displaystyle 3\pi/2 nur um \displaystyle \pi unterscheiden, ist die allgemeine Lösung auch

\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+n\pi\,,



\displaystyle \sqrt{2}\sin x - 1 = 0:

Die Gleichung entspricht \displaystyle \sin x = 1/\!\sqrt{2} mit den Lösungen \displaystyle x=\pi/4 und \displaystyle x=3\pi /4 auf dem Einheitskreis und den allgemeinen Lösungen

\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi\,,


Also hat die Gleichung die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{2}+n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,, \end{align}\right.