Lösung 4.4:6b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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- | <math> | + | wo wir den Faktor <math>\cos x</math> herausziehen können, |
+ | {{Abgesetzte Formel||<math>\cos x (\sqrt{2}\sin x-1) = 0</math>}} | ||
- | + | Die Gleichung ist nur erfüllt, wenn einer der Faktoren <math>\cos x</math> oder <math>\sqrt{2}\sin x - 1</math> null ist. Also gibt es zwei Fälle: | |
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- | <math>\cos x | + | <math>\cos x=0:</math> |
+ | Diese Gleichung hat die Lösungen <math>x=\pi/2</math> und <math>x=3\pi/2</math> auf dem Einheitskreis. Die allgemeine Lösung ist | ||
- | + | {{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi\,,</math>}} | |
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+ | Nachdem sich die Winkel <math>\pi/2</math> und | ||
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- | <math>x={\pi } | + | |
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- | <math>x=\frac{\pi }{2}+2n\pi </math> | ||
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- | <math>x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi </math> | ||
- | + | <math>\sqrt{2}\sin x - 1 = 0:</math> | |
- | <math> | + | |
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- | + | Die Gleichung entspricht <math>\sin x = 1/\!\sqrt{2}</math> mit den Lösungen <math>x=\pi/4</math> und <math>x=3\pi /4</math> auf dem Einheitskreis und den allgemeinen Lösungen | |
- | <math>x=\ | + | |
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- | + | {{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{4}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi\,,</math>}} | |
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- | + | Also hat die Gleichung die Lösungen | |
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- | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | |
- | + | x &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\\[5pt] | |
- | + | x &= \frac{\pi}{2}+n\pi\,,\\[5pt] | |
- | + | x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,, | |
- | + | \end{align}\right.</math>}} | |
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- | <math>\left\{ \begin{ | + | |
- | x=\frac{\pi }{4}+2n\pi | + | |
- | x=\frac{\pi }{2}+n\pi | + | |
- | x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi | + | |
- | \end{ | + | |
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Aktuelle Version
Ziehen wir alle Terme zu einer Seite der Gleichung, erhalten wir
\displaystyle \sqrt{2}\sin x\cos x-\cos x=0 |
wo wir den Faktor \displaystyle \cos x herausziehen können,
\displaystyle \cos x (\sqrt{2}\sin x-1) = 0 |
Die Gleichung ist nur erfüllt, wenn einer der Faktoren \displaystyle \cos x oder \displaystyle \sqrt{2}\sin x - 1 null ist. Also gibt es zwei Fälle:
\displaystyle \cos x=0:
Diese Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x=\pi/2 und \displaystyle x=3\pi/2 auf dem Einheitskreis. Die allgemeine Lösung ist
\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi\,, |
Nachdem sich die Winkel \displaystyle \pi/2 und \displaystyle 3\pi/2 nur um \displaystyle \pi unterscheiden, ist die allgemeine Lösung auch
\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+n\pi\,, |
\displaystyle \sqrt{2}\sin x - 1 = 0:
Die Gleichung entspricht \displaystyle \sin x = 1/\!\sqrt{2} mit den Lösungen \displaystyle x=\pi/4 und \displaystyle x=3\pi /4 auf dem Einheitskreis und den allgemeinen Lösungen
\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi\,, |
Also hat die Gleichung die Lösungen
\displaystyle \left\{\begin{align}
x &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{2}+n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,, \end{align}\right. |