Lösung 4.4:5c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
For a fixed value of
+
Für einen Konstante ''u'' ist die Gleichung
-
<math>u</math>, an equality of the form
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos u=\cos v</math>}}
-
<math>\cos u=\cos v</math>
+
für folgende Winkel ''v'' erfüllt:
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>v=u\qquad\text{und}\qquad v=-u\,\textrm{.}</math>}}
-
is satisfied by two angles
+
<center>{{:4.4.5c - Solution - Two unit circles with angles u and -u, respectively}}</center>
-
<math>v</math>
+
-
in the unit circle:
+
 +
Also sind die allgemeinen Lösungen
-
<math>v=u</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>v=u+2n\pi\qquad\text{und}\qquad v=-u+2n\pi\,.</math>}}
-
and
+
-
<math>v=-u</math>
+
 +
Die Gleichung
-
[[Image:4_4_5_c.gif|center]]
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos 5x=\cos (x+\pi/5)</math>}}
-
This means that all angles
+
hat damit die Lösungen
-
<math>v</math>
+
-
which satisfy the equality are
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} 5x&=x+\frac{\pi}{5}+2n\pi\quad\text{oder}\\[5pt] 5x &= -x-\frac{\pi}{5}+2n\pi\,\textrm{.}\end{align}\right.</math>}}
-
<math>v=u+2n\pi </math>
+
Lösen wir die Gleichung für ''x'', erhalten wir
-
and
+
-
<math>v=-u+2n\pi </math>
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-
where
+
x &= \frac{\pi}{20} + \frac{n\pi}{2}\,,\\[5pt]
-
<math>n\text{ }</math>
+
x &= -\frac{\pi }{30}+\frac{n\pi}{3}\,,
-
is an arbitrary integer.
+
\end{align}\right.</math>}}
-
 
+
-
Therefore, the equation
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\cos 5x=\cos \left( x+{\pi }/{5}\; \right)</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
has the solutions
+
-
 
+
-
+
-
<math>5x=x+\frac{\pi }{5}+2n\pi </math>
+
-
or
+
-
 
+
-
<math>5x=-x-\frac{\pi }{5}+2n\pi </math>
+
-
 
+
-
If we collect
+
-
<math>x\text{ }</math>
+
-
onto one side, we end up with
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=\frac{\pi }{20}+\frac{1}{2}n\pi \\
+
-
x=-\frac{\pi }{30}+\frac{1}{3}n\pi \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
(
+
-
<math>n\text{ }</math>
+
-
an arbitrary integer).
+

Aktuelle Version

Für einen Konstante u ist die Gleichung

\displaystyle \cos u=\cos v

für folgende Winkel v erfüllt:

\displaystyle v=u\qquad\text{und}\qquad v=-u\,\textrm{.}

[Image]

Also sind die allgemeinen Lösungen

\displaystyle v=u+2n\pi\qquad\text{und}\qquad v=-u+2n\pi\,.

Die Gleichung

\displaystyle \cos 5x=\cos (x+\pi/5)

hat damit die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align} 5x&=x+\frac{\pi}{5}+2n\pi\quad\text{oder}\\[5pt] 5x &= -x-\frac{\pi}{5}+2n\pi\,\textrm{.}\end{align}\right.

Lösen wir die Gleichung für x, erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \frac{\pi}{20} + \frac{n\pi}{2}\,,\\[5pt] x &= -\frac{\pi }{30}+\frac{n\pi}{3}\,, \end{align}\right.

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