Lösung 4.4:5b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
Let's first investigate when the equality
+
Wir betrachten zuerst die Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>\tan u=\tan v</math>}}
-
<math>\tan u=\tan v</math>
+
Diese Gleichung ist erfüllt, wenn
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>v=u\qquad\text{und}\qquad v=u+\pi\,\textrm{.}</math>}}
-
is satisfied. Because
+
<center>{{:4.4.5b - Solution - Two unit circles with angles v = u and v = π - u, respectively}}</center>
-
<math>u</math>
+
-
can be interpreted as the slope (gradient) of the line which makes an angle
+
-
<math>u</math>
+
-
with the positive
+
-
<math>x</math>
+
-
-axis, we see that for a fixed value of tan u, there are two angles
+
-
<math>v</math>
+
-
in the unit circle with this slope:
+
 +
Die allgemeine Lösung ist
-
<math>v=u</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>v=u+n\pi\,,</math>}}
-
and
+
-
<math>v=u+\pi </math>
+
 +
Für unsere Gleichung
-
[[Image:4_4_5_b.gif|center]]
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\tan x=\tan 4x</math>}}
-
slope
+
erhalten wir die Lösungen
-
<math>=\text{ tan }u</math>
+
-
slope
+
-
<math>=\text{ tan }u</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>4x = x+n\pi\,. </math>}}
-
The angle
+
Lösen wir diese Gleichung für ''x'', erhalten wir
-
<math>v</math>
+
-
has the same slope after every half turn, so if we add multiples of
+
-
<math>\pi \text{ }</math>
+
-
to
+
-
<math>u</math>, we will obtain all the angles
+
-
<math>v</math>
+
-
which satisfy the equality
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \tfrac{1}{3}n\pi</math>}}
-
<math>v=u+n\pi </math>
+
-
 
+
-
 
+
-
where
+
-
<math>n</math>
+
-
is an arbitrary integer.
+
-
 
+
-
If we apply this result to the equation
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\tan x=\tan 4x</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
we see that the solutions are given by
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>4x=x+n\pi </math>
+
-
(
+
-
<math>n</math>
+
-
an arbitrary integer),
+
-
 
+
-
and solving for
+
-
<math>x</math>
+
-
gives
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x=\frac{1}{3}n\pi </math>
+
-
(
+
-
<math>n</math>
+
-
an arbitrary integer).
+

Aktuelle Version

Wir betrachten zuerst die Gleichung

\displaystyle \tan u=\tan v

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn

\displaystyle v=u\qquad\text{und}\qquad v=u+\pi\,\textrm{.}

[Image]

Die allgemeine Lösung ist

\displaystyle v=u+n\pi\,,

Für unsere Gleichung

\displaystyle \tan x=\tan 4x

erhalten wir die Lösungen

\displaystyle 4x = x+n\pi\,.

Lösen wir diese Gleichung für x, erhalten wir

\displaystyle x = \tfrac{1}{3}n\pi
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