Lösung 4.4:5a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (13:22, 25. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
(Replaced figure with metapost figure)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 5 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
If we consider for a moment the equality
+
Betrachten wir die Gleichung
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin u = \sin v,</math>|(*)}}
-
<math>\sin u=\sin v\quad \quad \quad (*)</math>
+
wobei ''u'' eine Konstante ist, gibt es zwei Lösungen für diese Gleichung, nämlich
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>v=u\qquad\text{und}\qquad v=\pi-u\,\textrm{.}</math>}}
 +
<center>{{:4.4.5a - Solution - Two unit circles with angles v = u and v = π - u}}</center>
-
where
+
(Die einzige Ausnahme ist, wenn <math>u = \pi/2</math> oder <math>u=3\pi/2</math>, da in diesen Fällen <math>u</math> und <math>\pi-u</math> dieselben Winkel sind)
-
<math>u</math>
+
-
has a fixed value, there are usually two angles
+
-
<math>v</math>
+
-
in the unit circle which ensure that the equality holds:
+
 +
Wir erhalten die allgemeine Lösung, indem wir ein Vielfaches von <math>2\pi</math> zur Lösung addieren:
-
<math>v=u</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>v = u+2n\pi\qquad\text{und}\qquad v = \pi-u+2n\pi\,.</math>}}
-
and
+
-
<math>v=\pi -u</math>
+
 +
Für unsere Gleichung
-
[[Image:4_4_5_a.gif]]
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 3x = \sin x</math>}}
 +
erhalten wir die Lösungen
-
(The only exception is when
+
{{Abgesetzte Formel||<math>3x = x+2n\pi\qquad\text{oder}\qquad 3x = \pi-x+2n\pi\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>u={\pi }/{2}\;\text{ }</math>
+
-
or
+
-
<math>u=3{\pi }/{2}\;\text{ }</math>, in which case
+
-
<math>u</math>
+
-
and
+
-
<math>\pi -u\text{ }</math>
+
-
correspond to the same direction and there is only one angle
+
-
<math>v</math>
+
-
which satisfies the equality.)
+
-
We obtain all the angles
+
Lösen wir ''x'', erhalten wir
-
<math>v</math>
+
-
which satisfy (*) by adding multiples of
+
-
<math>\text{2}\pi </math>,
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-
<math>v=u+2n\pi </math>
+
x &= 0+n\pi\,,\\[5pt]
-
and
+
x &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,\textrm{.}
-
<math>v=\pi -u+2n\pi </math>
+
\end{align}\right.</math>}}
-
 
+
-
 
+
-
where
+
-
<math>n\text{ }</math>
+
-
is an arbitrary integer.
+
-
 
+
-
If we now go back to our equation
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\sin 3x=\sin x</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
the reasoning above shows that the equation is only satisfied when
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>3x=x+2n\pi </math>
+
-
or
+
-
<math>3x=\pi -x+2n\pi </math>
+
-
 
+
-
 
+
-
If we make
+
-
<math>x</math>
+
-
the subject of each equation, we obtain the full solution to the equation:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=0+n\pi \\
+
-
x=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}n\pi \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+

Aktuelle Version

Betrachten wir die Gleichung

\displaystyle \sin u = \sin v, (*)

wobei u eine Konstante ist, gibt es zwei Lösungen für diese Gleichung, nämlich

\displaystyle v=u\qquad\text{und}\qquad v=\pi-u\,\textrm{.}

[Image]

(Die einzige Ausnahme ist, wenn \displaystyle u = \pi/2 oder \displaystyle u=3\pi/2, da in diesen Fällen \displaystyle u und \displaystyle \pi-u dieselben Winkel sind)

Wir erhalten die allgemeine Lösung, indem wir ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi zur Lösung addieren:

\displaystyle v = u+2n\pi\qquad\text{und}\qquad v = \pi-u+2n\pi\,.

Für unsere Gleichung

\displaystyle \sin 3x = \sin x

erhalten wir die Lösungen

\displaystyle 3x = x+2n\pi\qquad\text{oder}\qquad 3x = \pi-x+2n\pi\,\textrm{.}

Lösen wir x, erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= 0+n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,\textrm{.} \end{align}\right.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_4.4:5a“