Lösung 4.4:1g

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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A quick sketch of the unit circle and the line
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Zeichnen wir den Einheitskreis mit der Geraden <math>y=(-1/\!\sqrt{3})x</math>, was also dem Winkel entspricht, dessen Tangens <math>-1/\!\sqrt{3}</math> beträgt, sehen wir, dass es zwei Winkel gibt, die die Gleichung <math>\tan v = -1/\!\sqrt{3}</math> erfüllen. Diese liegen einander gegenüber im zweiten und im vierten Quadranten.
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<math>y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x</math>, which corresponds to the tangent value
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<math>-{1}/{\sqrt{3}}\;</math>
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shows that there are two angles which satisfy
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<math>\tan v=-{1}/{\sqrt{3}}\;</math>. One of the angles lies in the fourth quadrant and the other is the opposite angle in the second quadrant.
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[[Image:4_4_1_g1.gif|center]]
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<center>{{:4.4.1g - Solution - Two unit circles with angles v satisfying tan v = -1/√3}}</center>
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We can therefore limit ourselves to the fourth quadrant and draw an auxiliary triangle in order to determine the angle there.
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Wir betrachten nur den vierten Quadranten und führen ein neues Dreieck ein:
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[[Image:4_4_1_g2.gif|center]]
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<center>{{:4.4.1g - Solution - The unit circle with an angle in the fourth quadrant and an auxiliary triangle}}</center>
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If we call
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Wir benennen die Ankathete <math>x</math> und nachdem <math>\tan v=-1/\!\sqrt{3}</math>, ist die Länge der Gegenkathete <math>x/\!\sqrt{3}</math>.
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<math>x</math>
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the side adjacent to the angle
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<math>\alpha </math>
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then the fact that
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<math>\tan v=-{1}/{\sqrt{3}}\;</math>
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gives the length of the opposite side as
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<math>{x}/{\sqrt{3}}\;</math>.
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<center>{{:4.4.1g - Solution - An auxiliary triangle in the fourth quadrant}}</center>
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[[Image:4_4_1_g3.gif|center]]
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Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir
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Pythagoras' theorem gives
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + \Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^2 = 1^2</math>}}
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Diese Gleichung hat die positive Lösung <math>x = \sqrt{3}/2</math>, also haben wir
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<math>x^{2}+\left( \frac{x}{\sqrt{3}} \right)^{2}=1^{2}</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,.</math>}}
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Damit ist <math>\alpha = \pi/6</math>. Nachdem der Winkel <math>v</math> das Komplement des Winkels <math>\alpha</math> ist, ist <math>v</math>
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and this equation has the solution
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{{Abgesetzte Formel||<math>v = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi }{6}\,\textrm{.}</math>}}
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<math>x={\sqrt{3}}/{2}\;</math>, which means that
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 +
Subtrahieren wir <math>\pi</math> von <math>v</math>, erhalten wir den anderen Winkel in zweiten Quadranten:
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<math>\cos \alpha =\frac{{\sqrt{3}}/{2}\;}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>v = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi}{6}\,\textrm{.}</math>}}
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i.e.
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<math>\alpha ={\pi }/{6}\;</math>. Because the angle
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<math>v</math>
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in the fourth quadrant is the complement of
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<math>\alpha </math>
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+
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<math>v</math>
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is given by
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<math>v=2\pi -\alpha =2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11\pi }{6}</math>.
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If we subtract half a turn,
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<math>\pi </math>, we obtain the other angle
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-
 
+
-
 
+
-
<math>v=\frac{11\pi }{6}-\pi =\frac{5\pi }{6}</math>
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Aktuelle Version

Zeichnen wir den Einheitskreis mit der Geraden \displaystyle y=(-1/\!\sqrt{3})x, was also dem Winkel entspricht, dessen Tangens \displaystyle -1/\!\sqrt{3} beträgt, sehen wir, dass es zwei Winkel gibt, die die Gleichung \displaystyle \tan v = -1/\!\sqrt{3} erfüllen. Diese liegen einander gegenüber im zweiten und im vierten Quadranten.

[Image]

Wir betrachten nur den vierten Quadranten und führen ein neues Dreieck ein:

[Image]

Wir benennen die Ankathete \displaystyle x und nachdem \displaystyle \tan v=-1/\!\sqrt{3}, ist die Länge der Gegenkathete \displaystyle x/\!\sqrt{3}.

[Image]

Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir

\displaystyle x^2 + \Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^2 = 1^2

Diese Gleichung hat die positive Lösung \displaystyle x = \sqrt{3}/2, also haben wir

\displaystyle \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,.

Damit ist \displaystyle \alpha = \pi/6. Nachdem der Winkel \displaystyle v das Komplement des Winkels \displaystyle \alpha ist, ist \displaystyle v

\displaystyle v = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi }{6}\,\textrm{.}

Subtrahieren wir \displaystyle \pi von \displaystyle v, erhalten wir den anderen Winkel in zweiten Quadranten:

\displaystyle v = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi}{6}\,\textrm{.}
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