Lösung 3.1:6b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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The root sign in the denominator lies in a quadratic term and we therefore expand first the quadratic
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Wir erweitern die Quadrate im Nenner
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
(\sqrt{3}-2)^2
(\sqrt{3}-2)^2
&= (\sqrt{3}\,)^{2} - 2\cdot\sqrt{3}\cdot 2 + 2^{2}\\[5pt]
&= (\sqrt{3}\,)^{2} - 2\cdot\sqrt{3}\cdot 2 + 2^{2}\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Thus,
+
Daher haben wir
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{{Displayed math||<math>\frac{1}{(\sqrt{3}-2)^{2}-2} = \frac{1}{7-4\sqrt{3}-2} = \frac{1}{5-4\sqrt{3}}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{(\sqrt{3}-2)^{2}-2} = \frac{1}{7-4\sqrt{3}-2} = \frac{1}{5-4\sqrt{3}}</math>}}
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and in the expression we can get rid of the root sign from the denominator by multiplying the top and bottom of the equation by the conjugate <math>5+4\sqrt{3}</math>,
+
Jetzt erweitern wir den Bruch mit <math>5+4\sqrt{3}</math> und werden somit die Wurzel im Nenner los
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\frac{1}{5-4\sqrt{3}}
\frac{1}{5-4\sqrt{3}}
&= \frac{1}{5-4\sqrt{3}}\cdot \frac{5+4\sqrt{3}}{5+4\sqrt{3}}\\[5pt]
&= \frac{1}{5-4\sqrt{3}}\cdot \frac{5+4\sqrt{3}}{5+4\sqrt{3}}\\[5pt]

Aktuelle Version

Wir erweitern die Quadrate im Nenner

\displaystyle \begin{align}

(\sqrt{3}-2)^2 &= (\sqrt{3}\,)^{2} - 2\cdot\sqrt{3}\cdot 2 + 2^{2}\\[5pt] &= 3-4\sqrt{3}+4\\[5pt] &= 7-4\sqrt{3}\,\textrm{.} \end{align}

Daher haben wir

\displaystyle \frac{1}{(\sqrt{3}-2)^{2}-2} = \frac{1}{7-4\sqrt{3}-2} = \frac{1}{5-4\sqrt{3}}

Jetzt erweitern wir den Bruch mit \displaystyle 5+4\sqrt{3} und werden somit die Wurzel im Nenner los

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{5-4\sqrt{3}} &= \frac{1}{5-4\sqrt{3}}\cdot \frac{5+4\sqrt{3}}{5+4\sqrt{3}}\\[5pt] &= \frac{5+4\sqrt{3}}{5^{2}-(4\sqrt{3})^{2}}\\[5pt] &= \frac{5+4\sqrt{3}}{5^{2}-4^{2}(\sqrt{3})^{2}}\\[5pt] &= \frac{5+4\sqrt{3}}{25-16\cdot 3}\\[5pt] &= \frac{5+4\sqrt{3}}{-23}\\[5pt] &= -\frac{5+4\sqrt{3}}{23}\,\textrm{.} \end{align}

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