Lösung 4.3:9

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Zeile 1: Zeile 1:
-
Using the formula for double angles on sin
+
Wir verwenden die Doppelwinkelfunktion für <math>\sin 160^{\circ}</math>
-
<math>160^{\circ }</math>
+
-
gives
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 160^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\sin 160^{\circ }=2\cos 80^{\circ }\sin 80^{\circ }</math>
+
Wir verwenden jetzt die Doppelwinkelfunktion für den Faktor <math>\sin 80^{\circ}</math>, nachdem wir den Faktor <math>\cos 80^{\circ}</math> behalten möchten:
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\sin 40^{\circ}\,.</math>}}
-
On the right-hand side, we see that the factor
+
Wir verwenden noch einmal die Doppelwinkelfunktion, dieses Mal für den Faktor <math>\sin 40^{\circ}</math>
-
<math>\cos 80^{\circ }</math>
+
-
has appeared, and if we use the formula for double angles on the second factor (
+
-
<math>\sin 80^{\circ }</math>
+
-
),
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot\sin 40^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot 2\cos 20^{\circ}\sin 20^{\circ}\,\textrm{·}</math>}}
-
<math>2\cos 80^{\circ }\sin 80^{\circ }=2\cos 80^{\circ }\centerdot 2\cos 40^{\circ }\sin 40^{\circ }</math>
+
Also haben wir gezeigt, dass
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 160^{\circ} = 8\cos 80^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ}\cdot\sin 20^{\circ}</math>}}
-
we obtain a further factor
+
Anders geschrieben:
-
<math>\cos 40^{\circ }</math>. A final application of the formula for double angles on
+
-
<math>\sin 40^{\circ }</math>
+
-
gives us all three cosine factors:
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos 80^{\circ}\cdot\cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}}\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>2\cos 80^{\circ }\centerdot 2\cos 40^{\circ }\centerdot \sin 40^{\circ }=2\cos 80^{\circ }\centerdot 2\cos 40^{\circ }\centerdot 2\cos 20^{\circ }\sin 20^{\circ }</math>
+
<center>{{:4.3.9 - Solution - The unit circle with angles 20° and 160°}}</center>
 +
Zeichnen wir den Winkel <math>160^{\circ}</math> im Einheitskreis, sehen wir, dass der Winkel dieselbe ''y''-Koordinate wie der Winkel <math>20^{\circ}</math> hat und daher denselben Sinus. Also erhalten wir
-
We have thus succeeded in showing that
+
<center><math>\sin 20^{\circ} = \sin 160^{\circ}\,\textrm{.}</math></center>
 +
Damit haben wir die Gleichung
-
<math>\sin 160^{\circ }=8\cos 80^{\circ }\centerdot \cos 40^{\circ }\centerdot \cos 20^{\circ }\sin 20^{\circ }</math>
+
<center><math>\cos 80^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}} = \frac{1}{8}\,\textrm{.}</math></center>
-
 
+
-
 
+
-
which can also be written as
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\cos 80^{\circ }\centerdot \cos 40^{\circ }\centerdot \cos 20^{\circ }=\frac{\sin 160^{\circ }}{8\sin 20^{\circ }}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
If we draw the unit circle, we see that
+
-
<math>160^{\circ }</math>
+
-
makes an angle of
+
-
<math>20^{\circ }</math>
+
-
with the negative
+
-
<math>x</math>
+
-
-axis, and therefore the angles
+
-
<math>20^{\circ }</math>
+
-
and
+
-
<math>160^{\circ }</math>
+
-
have the same
+
-
<math>y</math>
+
-
-coordinate in the unit circle, i.e.
+
-
 
+
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<math>\sin 20^{\circ }=\sin 160^{\circ }</math>.
+
-
 
+
-
 
+
-
[[Image:4_3_9.gif|center]]
+
-
 
+
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This shows that
+
-
 
+
-
 
+
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<math>\cos 80^{\circ }\centerdot \cos 40^{\circ }\centerdot \cos 20^{\circ }=\frac{\sin 160^{\circ }}{8\sin 20^{\circ }}=\frac{1}{8}</math>
+

Aktuelle Version

Wir verwenden die Doppelwinkelfunktion für \displaystyle \sin 160^{\circ}

\displaystyle \sin 160^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ}\,\textrm{.}

Wir verwenden jetzt die Doppelwinkelfunktion für den Faktor \displaystyle \sin 80^{\circ}, nachdem wir den Faktor \displaystyle \cos 80^{\circ} behalten möchten:

\displaystyle 2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\sin 40^{\circ}\,.

Wir verwenden noch einmal die Doppelwinkelfunktion, dieses Mal für den Faktor \displaystyle \sin 40^{\circ}

\displaystyle 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot\sin 40^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot 2\cos 20^{\circ}\sin 20^{\circ}\,\textrm{·}

Also haben wir gezeigt, dass

\displaystyle \sin 160^{\circ} = 8\cos 80^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ}\cdot\sin 20^{\circ}

Anders geschrieben:

\displaystyle \cos 80^{\circ}\cdot\cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}}\,\textrm{.}

[Image]

Zeichnen wir den Winkel \displaystyle 160^{\circ} im Einheitskreis, sehen wir, dass der Winkel dieselbe y-Koordinate wie der Winkel \displaystyle 20^{\circ} hat und daher denselben Sinus. Also erhalten wir

\displaystyle \sin 20^{\circ} = \sin 160^{\circ}\,\textrm{.}

Damit haben wir die Gleichung

\displaystyle \cos 80^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}} = \frac{1}{8}\,\textrm{.}