Lösung 4.3:7a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
We can write the expression
+
Durch das Additionstheorem erhalten wir
-
<math>\text{sin}\left( x+y \right)</math>
+
-
in terms of
+
-
<math>\text{sin }x</math>,
+
-
<math>\text{cos }x</math>,
+
-
<math>\text{sin }y</math>
+
-
and
+
-
<math>\text{cos }y</math>
+
-
if we use the addition formula for sine,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin (x+y) = \sin x\cdot \cos y + \cos x\cdot \sin y\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\text{sin}\left( x+y \right)=\sin x\centerdot \cos y+\cos x\centerdot \sin y</math>
+
Weiterhin ist es möglich, die Terme <math>\cos x</math> und <math>\cos y</math> durch <math>\sin x</math> und <math>\sin y</math> zu schreiben, und zwar mit dem Satz des Pythagoras:
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\cos x &= \pm \sqrt{1-\sin^2\!x} = \pm \sqrt{1-(2/3)^2} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}\,,\\[5pt]
 +
\cos y &= \pm \sqrt{1-\sin^2\!y} = \pm \sqrt{1-(1/3)^{2}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
In turn, it is possible to express the factors
+
Nachdem ''x'' und ''y'' Winkel im ersten Quadrant sind, sind <math>\cos x</math> und <math>\cos y</math> positiv und wir erhalten dadurch
-
<math>\text{cos }x</math>
+
-
and
+
-
<math>\text{cos }y</math>
+
-
in terms of
+
-
<math>\text{sin }x</math>
+
-
and
+
-
<math>\text{sin }y</math>
+
-
by using the Pythagorean identity,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x = \frac{\sqrt{5}}{3}\qquad\text{und}\qquad\cos y = \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Schließlich erhalten wir
-
& \cos x=\pm \sqrt{1-\text{sin}^{2}x}=\pm \sqrt{1-\left( {2}/{3}\; \right)^{2}}=\pm \frac{\sqrt{5}}{3} \\
+
-
& \cos y=\pm \sqrt{1-\text{sin}^{2}y}=\pm \sqrt{1-\left( {1}/{3}\; \right)^{2}}=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin (x+y) = \frac{2}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}\,\textrm{.}</math>}}
-
 
+
-
Because
+
-
<math>x</math>
+
-
and
+
-
<math>y</math>
+
-
are angles in the first quadrant,
+
-
<math>\text{cos }x</math>
+
-
and
+
-
<math>\text{cos }y</math>
+
-
are positive, so we in fact have
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\cos x=\frac{\sqrt{5}}{3}</math>
+
-
and
+
-
<math>\cos y=\frac{2\sqrt{2}}{3}</math>
+
-
 
+
-
+
-
Finally, we obtain
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\sin \left( x+y \right)=\frac{2}{3}\centerdot \frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}}{3}\centerdot \frac{1}{3}=\frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}</math>
+

Aktuelle Version

Durch das Additionstheorem erhalten wir

\displaystyle \sin (x+y) = \sin x\cdot \cos y + \cos x\cdot \sin y\,\textrm{.}

Weiterhin ist es möglich, die Terme \displaystyle \cos x und \displaystyle \cos y durch \displaystyle \sin x und \displaystyle \sin y zu schreiben, und zwar mit dem Satz des Pythagoras:

\displaystyle \begin{align}

\cos x &= \pm \sqrt{1-\sin^2\!x} = \pm \sqrt{1-(2/3)^2} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}\,,\\[5pt] \cos y &= \pm \sqrt{1-\sin^2\!y} = \pm \sqrt{1-(1/3)^{2}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\textrm{.} \end{align}

Nachdem x und y Winkel im ersten Quadrant sind, sind \displaystyle \cos x und \displaystyle \cos y positiv und wir erhalten dadurch

\displaystyle \cos x = \frac{\sqrt{5}}{3}\qquad\text{und}\qquad\cos y = \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\textrm{.}

Schließlich erhalten wir

\displaystyle \sin (x+y) = \frac{2}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}\,\textrm{.}
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