Lösung 4.3:6c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (10:30, 25. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
(Replaced figures with metapost figures)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 8 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
Because the angle
+
Nachdem der Winkel <math>\pi \le v\le 3\pi/2\,</math> erfüllt, liegt <math>v</math> im dritten Quadrant auf dem Einheitskreis. Weiterhin ist <math>\tan v = 3</math> und die Steigung der Geraden mit den Winkel <math>v</math> ist also 3.
-
<math>v</math>
+
-
satisfies
+
-
<math>\pi \le v\le \frac{3\pi }{2}</math>,
+
-
<math>v</math>
+
-
belongs to the third quadrant in the unit circle. Furthermore,
+
-
<math>\text{tan }v=\text{3 }</math>
+
-
gives that the line which corresponds to the angle
+
-
<math>v</math>
+
-
<math>v</math>
+
<center>{{:4.3.6c - Solution - The unit circle with angle v}}</center>
-
has a gradient of
+
-
<math>\text{3}</math>.
+
 +
Wir zeichnen ein Dreieck im dritten Quadrant, mit dem Verhältnis 3:1 zwischen Höhe und Breite.
-
[[Image:4_3_6_c1.gif|center]]
+
<center>{{:4.3.6c - Solution - The unit circle with angle v in the third quadrant and an auxiliary triangle}}</center>
-
slope 3
+
Auf Grund des Satzes des Pythagoras erfüllt ''a'' die Gleichung
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>a^2 + (3a)^2 = 1^2</math>}}
 +
was uns <math>10a^{2}=1</math> gibt, also <math>a = 1/\!\sqrt{10}\,\textrm{.}</math>
-
In the third quadrant, we can introduce a right-angled triangle in which the hypotenuse is
+
Die ''x''-Koordinate zum Winkel ''v'' ist <math>-1/\!\sqrt{10}</math> und die ''y''-Koordinate <math>-3/\!\sqrt{10}</math>. Also haben wir
-
<math>\text{1}</math>
+
-
and the sides have a
+
-
<math>\text{3}:\text{1 }</math>
+
-
ratio.
+
-
[[Image:4_3_6_c2.gif|center]]
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
 
+
\cos v &= -\frac{1}{\sqrt{10}}\,,\\[5pt]
-
If we now use Pythagoras' theorem on the triangle, we see that the horizontal side
+
\sin v &= -\frac{3}{\sqrt{10}}\,\textrm{.}
-
<math>\text{a}</math>
+
\end{align}</math>}}
-
satisfies
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>a^{2}+\left( 3a \right)^{2}=1^{2}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
which gives us that
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>10a^{2}=1</math>
+
-
i.e.
+
-
<math>a=\frac{1}{\sqrt{10}}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Thus, the angle
+
-
<math>v</math>'s
+
-
<math>x</math>
+
-
-coordinate is
+
-
<math>-\frac{1}{\sqrt{10}}</math>
+
-
and
+
-
<math>y</math>
+
-
-coordinate is
+
-
<math>-\frac{3}{\sqrt{10}}</math>, i.e.
+
-
 
+
-
<math>\cos v=--\frac{1}{\sqrt{10}}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\sin v=-\frac{3}{\sqrt{10}}</math>
+

Aktuelle Version

Nachdem der Winkel \displaystyle \pi \le v\le 3\pi/2\, erfüllt, liegt \displaystyle v im dritten Quadrant auf dem Einheitskreis. Weiterhin ist \displaystyle \tan v = 3 und die Steigung der Geraden mit den Winkel \displaystyle v ist also 3.

[Image]

Wir zeichnen ein Dreieck im dritten Quadrant, mit dem Verhältnis 3:1 zwischen Höhe und Breite.

[Image]

Auf Grund des Satzes des Pythagoras erfüllt a die Gleichung

\displaystyle a^2 + (3a)^2 = 1^2

was uns \displaystyle 10a^{2}=1 gibt, also \displaystyle a = 1/\!\sqrt{10}\,\textrm{.}

Die x-Koordinate zum Winkel v ist \displaystyle -1/\!\sqrt{10} und die y-Koordinate \displaystyle -3/\!\sqrt{10}. Also haben wir

\displaystyle \begin{align}

\cos v &= -\frac{1}{\sqrt{10}}\,,\\[5pt] \sin v &= -\frac{3}{\sqrt{10}}\,\textrm{.} \end{align}

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_4.3:6c“