Lösung 4.3:6a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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If we think of the angle v as an angle in the unit circle, then
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Auf dem Einheitskreis liegt der Winkel ''v'' im vierten Quadranten mit der ''x''-Koordinate 3/4:
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<math>v</math>
+
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lies in the fourth quadrant and has
+
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<math>x</math>
+
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-coordinate
+
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<math>\frac{3}{4}</math>.
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<center>{{:4.3.6a - Solution - The unit circle with angle v}}</center>
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[[Image:4_3_6_a1.gif|center]]
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Im vierten Quadranten können wir ein Dreieck mit der Hypotenuse 1 und der Gegenkathete 3/4 einzeichnen.
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If we enlarge the fourth quadrant, we see that we can make a right-angled triangle with hypotenuse equal to
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<center>{{:4.3.6a - Solution - The unit circle with angle v in the fourth quadrant and an auxiliary triangle}}</center>
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<math>\text{1}</math>
+
-
and an opposite side equal to
+
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<math>\frac{3}{4}</math>.
+
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[[Image:4_3_6_a2.gif|center]]
+
Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir auch die Ankathete
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Using Pythagoras' theorem, it is possible to determine the remaining side from
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{{Abgesetzte Formel||<math>b^2 + \Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^2 = 1^2.</math>}}
 +
Wir erhalten
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{{Abgesetzte Formel||<math>b = \sqrt{1-\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^2} = \sqrt{1-\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\,\textrm{.}</math>}}
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<math>b^{2}+\left( \frac{3}{4} \right)^{2}=1^{2}</math>
+
Nachdem der Winkel ''v'' im vierten Quadrant liegt, ist seine ''y''-Koordinate negativ, also <math>-b</math>. Also haben wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin v=-\frac{\sqrt{7}}{4}\,\textrm{.}</math>}}
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which gives that
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Dies ergibt
-
 
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{{Abgesetzte Formel||<math>\tan v = \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{-\sqrt{7}/4}{3/4} = -\frac{\sqrt{7}}{3}\,\textrm{.}</math>}}
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<math>\begin{align}
+
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& b^{2}+\left( \frac{3}{4} \right)^{2}=1^{2} \\
+
-
& b=\sqrt{1-\left( \frac{3}{4} \right)^{2}}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4} \\
+
-
\end{align}</math>
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-
 
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-
 
+
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Because the angle
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<math>v</math>
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belongs to the fourth quadrant, its
+
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<math>y</math>
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-coordinate is negative and is therefore equal to
+
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<math>-b</math>, i.e.
+
-
 
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-
 
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<math>\sin v=-\frac{\sqrt{7}}{4}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Thus, we have directly that
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-
 
+
-
 
+
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<math>\tan v=\frac{\sin v}{\cos v}=\frac{-\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}}=-\frac{\sqrt{7}}{3}</math>
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Aktuelle Version

Auf dem Einheitskreis liegt der Winkel v im vierten Quadranten mit der x-Koordinate 3/4:

[Image]

Im vierten Quadranten können wir ein Dreieck mit der Hypotenuse 1 und der Gegenkathete 3/4 einzeichnen.

[Image]

Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir auch die Ankathete

\displaystyle b^2 + \Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^2 = 1^2.

Wir erhalten

\displaystyle b = \sqrt{1-\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^2} = \sqrt{1-\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\,\textrm{.}

Nachdem der Winkel v im vierten Quadrant liegt, ist seine y-Koordinate negativ, also \displaystyle -b. Also haben wir

\displaystyle \sin v=-\frac{\sqrt{7}}{4}\,\textrm{.}

Dies ergibt

\displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{-\sqrt{7}/4}{3/4} = -\frac{\sqrt{7}}{3}\,\textrm{.}
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