Lösung 4.2:9

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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If we introduce the dashed triangle below, the distance as the crow flies between
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Wir betrachten das Dreieck im unteren Bild. Der gesuchte Abstand ist die Hypotenuse ''c''.
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<math>\text{A}</math>
+
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and
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<math>\text{B}</math>
+
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is equal to the triangle's hypotenuse,
+
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<math>c</math>.
+
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<center>{{:4.2.9 - Solution - An auxiliary triangle with vertices A to B}}</center>
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[[Image:4_2_9_1.gif|center]]
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Die Hypotenuse können wir durch den Satz des Pythagoras bestimmen
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One way to determine the hypotenuse is to know the triangle's opposite and adjacent sides, since Pythagoras' theorem then gives
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{{Abgesetzte Formel||<math>c^2 = a^2 + b^2\,\textrm{.}</math>}}
 +
Wir können die Katheten bestimmen, indem wir das Dreieck APR im nächsten Bild betrachten.
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<math>c^{2}=a^{2}+b^{2}</math>
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<center>{{:4.2.9 - Solution - An auxiliary triangle with vertices A to P}}</center>
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Nachdem <math>\text{AP}=4</math>, erhalten wir einfach ''x'' und ''y'':
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In turn, we can determine the opposite and adjacent by introducing another triangle
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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<math>\text{APR}</math>, where
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x &= 4\sin 30^{\circ } = 4\cdot \frac{1}{2} = 2,\\[5pt]
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<math>\text{R}</math>
+
y &= 4\cos 30^{\circ } = 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\,\textrm{.}
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is the point on the line
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\end{align}</math>}}
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<math>\text{PQ}</math>
+
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which the dashed triangle's side of length
+
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<math>a</math>
+
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cuts the line.
+
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[[Image:4_2_9_2.gif|center]]
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Mit ''x'' und ''y'' erhalten wir die Katheten ''a'' und ''b'', indem wir die horizontalen und vertikalen Abstände in der Figur betrachten.
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Because we know that
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{| align="center"
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<math>\text{AP}=\text{4}</math>
+
| align="center" valign="center"|<math>\begin{align}a &= x+5 = 2+5 = 7,\\ b &= 12-y = 12-2\sqrt{3}.\end{align}</math>
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and the angle at P, simple trigonometry shows that
+
| width="20px"|&nbsp;
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<math>x</math>
+
| align="center" valign="center"|{{:4.2.9 - Solution - A figure with horizontal distances a, x and 5, and vertical distances 12, b and y}}
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and
+
|}
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<math>y</math>
+
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are given by
+
Mit ''a'' und ''b'' erhalten wir c durch den Satz des Pythagoras
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+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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<math>\begin{align}
+
c &= \sqrt{a^2+b^2}\\[5pt]
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& x=4\sin 30^{\circ }=4\centerdot \frac{1}{2}=2, \\
+
&= \sqrt{7^2+(12-2\sqrt{3})^2}\\[5pt]
-
& y=4\cos 30^{\circ }=4\centerdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} \\
+
&= \sqrt{49+(12^2-2\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2)}\\[5pt]
-
\end{align}</math>
+
&= \sqrt{205-48\sqrt{3}}\\[5pt]
-
 
+
&\approx 11\textrm{.}0\ \text{km}\textrm{.}
-
 
+
\end{align}</math>}}
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We can now start to look for the solution. Since
+
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<math>x</math>
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and
+
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<math>y</math>
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have been calculated, we can determine
+
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<math>a</math>
+
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and b by considering the horizontal and vertical distances in the figure.
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-
 
+
-
 
+
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[[Image:4_2_9_3.gif|center]]
+
-
 
+
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<math>a=x+5=2+5=7</math>
+
-
+
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<math>b=12-y=12-2\sqrt{3}</math>
+
-
 
+
-
 
+
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With a and
+
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<math>b</math>
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given, Pythagoras' theorem leads to
+
-
 
+
-
 
+
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<math>\begin{align}
+
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& c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{7^{2}+\left( 12-2\sqrt{3} \right)^{2}} \\
+
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& =\sqrt{49+\left( 12^{2}-2\centerdot 12\centerdot 2\sqrt{3}+\left( 2\sqrt{3} \right)^{2} \right)} \\
+
-
& =\sqrt{205-38\sqrt{3}}\quad \approx \quad 11.0\quad \text{km}\text{.} \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Wir betrachten das Dreieck im unteren Bild. Der gesuchte Abstand ist die Hypotenuse c.

[Image]

Die Hypotenuse können wir durch den Satz des Pythagoras bestimmen

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2\,\textrm{.}

Wir können die Katheten bestimmen, indem wir das Dreieck APR im nächsten Bild betrachten.

[Image]

Nachdem \displaystyle \text{AP}=4, erhalten wir einfach x und y:

\displaystyle \begin{align}

x &= 4\sin 30^{\circ } = 4\cdot \frac{1}{2} = 2,\\[5pt] y &= 4\cos 30^{\circ } = 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\,\textrm{.} \end{align}

Mit x und y erhalten wir die Katheten a und b, indem wir die horizontalen und vertikalen Abstände in der Figur betrachten.

\displaystyle \begin{align}a &= x+5 = 2+5 = 7,\\ b &= 12-y = 12-2\sqrt{3}.\end{align}  

[Image]

Mit a und b erhalten wir c durch den Satz des Pythagoras

\displaystyle \begin{align}

c &= \sqrt{a^2+b^2}\\[5pt] &= \sqrt{7^2+(12-2\sqrt{3})^2}\\[5pt] &= \sqrt{49+(12^2-2\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2)}\\[5pt] &= \sqrt{205-48\sqrt{3}}\\[5pt] &\approx 11\textrm{.}0\ \text{km}\textrm{.} \end{align}

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