Lösung 4.2:8

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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We start by drawing three auxiliary triangles, and calling the three vertical sides
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Wir zeichnen drei Dreiecke mit den vertikalen Seiten ''x'', ''y'' und ''z'', wie im Bild.
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<math>x,\ y</math>
+
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and
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<math>z</math>, as shown in the figure.
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 +
<center>{{:4.2.8 - Solution - A hanging bar with auxiliary triangles}}</center>
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[[Image:4_2_8.gif|center]]
+
Durch die Definition des Cosinus können wir ''x'' und ''y'' berechnen:
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Using the definition of cosine, we can work out
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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<math>x\text{ }</math>
+
x &= a\cos \alpha\,\text{ und}\\[3pt]
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and
+
y &= b\cos \beta\,.
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<math>y</math>
+
\end{align}</math>}}
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from
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Für ''z'' erhalten wir analog
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<math>x=a\cos \alpha </math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>z=\ell\cos \gamma\,\textrm{.}</math>}}
 +
Außerdem erfüllen die Längen ''x'', ''y'' und ''z'' die Gleichung
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<math>y=b\cos \beta </math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z=x-y\,\textrm{.}</math>}}
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and, for the same reason, we know that
+
Ersetzen wir ''x'', ''y'' und ''z'' mit unseren Ausdrücken oben, erhalten wir
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<math>z\text{ }</math>
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satisfies the relation
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 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\ell\cos \gamma = a\cos \alpha -b\cos \beta\,\textrm{,}</math>}}
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<math>z=l\cos \gamma </math>
+
wobei <math>\gamma </math> hier die einzig verbleibende unbekannte Variable ist.
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In addition, we know that the lengths
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<math>x,\ y</math>
+
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and
+
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<math>z</math>
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satisfy the equality
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+
-
 
+
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<math>z=x-y</math>
+
-
 
+
-
 
+
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If we substitute in the expressions for
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<math>x,\ y</math>
+
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and
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<math>z</math>, we obtain the trigonometric equation
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+
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+
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<math>l\cos \gamma =a\cos \alpha -b\cos \beta </math>
+
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+
-
 
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where
+
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<math>\gamma </math>
+
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is the only unknown.
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Aktuelle Version

Wir zeichnen drei Dreiecke mit den vertikalen Seiten x, y und z, wie im Bild.

[Image]

Durch die Definition des Cosinus können wir x und y berechnen:

\displaystyle \begin{align}

x &= a\cos \alpha\,\text{ und}\\[3pt] y &= b\cos \beta\,. \end{align}

Für z erhalten wir analog

\displaystyle z=\ell\cos \gamma\,\textrm{.}

Außerdem erfüllen die Längen x, y und z die Gleichung

\displaystyle z=x-y\,\textrm{.}

Ersetzen wir x, y und z mit unseren Ausdrücken oben, erhalten wir

\displaystyle \ell\cos \gamma = a\cos \alpha -b\cos \beta\,\textrm{,}

wobei \displaystyle \gamma hier die einzig verbleibende unbekannte Variable ist.

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