Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	We can split up the first term on the left-hand side, <math>x(x^{2}-2x)</math>, into factors by taking <math>x</math> outside the bracket, <math>x(x^{2}-2x) = x\cdot x\cdot (x-2)</math> and writing the other term as <math>x\cdot (2-x) = -x(x-2)</math>. From this we see that both terms contain <math>x(x-2)</math> as common factors and, if we take out those, the left-hand side becomes	+	Wir faktorisieren zuerst die beiden Terme in der linken Seite der Gleichung
		+
		+	<math>x(x^{2}-2x) = x\cdot x\cdot (x-2)</math>
		+	<br>
		+	<math>x\cdot (2-x) = -x(x-2)</math>.
-	{{Displayed math||<math>\begin{align}	+	Nachdem wir den gemeinsamen Faktor <math>x(x-2)</math> haben, faktorisieren wir den ganzen Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
	x(x^{2}-2x) + x(2-x)		x(x^{2}-2x) + x(2-x)
	&= x^{2}(x-2) - x(x-2)\\[5pt]		&= x^{2}(x-2) - x(x-2)\\[5pt]
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	The whole equation can be written as	+	Die Gleichung kann jetzt als
-	{{Displayed math||<math>x(x-2)(x-1) = 0</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>x(x-2)(x-1) = 0</math>}}
-	and this equation is satisfied only when one of the three factors <math>x</math>, <math>x-2</math> or <math>x-1</math> is zero, i.e. the solutions are <math>x=0</math>, <math>x=2</math> and <math>x=1</math>.	+	geschrieben werden. Diese Gleichung ist erfüllt, wenn einer der Faktoren <math>x</math>, <math>x-2</math> oder <math>x-1</math> null ist. Also sind die Lösungen <math>x=0</math>, <math>x=2</math> und <math>x=1</math>.
-	Because it is not completely obvious that <math>x=1</math> is a solution of the equation, we check that <math>x=1</math> satisfies the equation, i.e. that we haven't calculated incorrectly:	+	Nachdem es nicht ganz offensichtlich ist, ob <math>x=1</math> eine Lösung ist, kontrollieren wir, ob dies hierbei der Fall ist:
-	:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{LHS} = 1\cdot (1^{2}-2\cdot 1) + 1\cdot (2-1) = 1\cdot (-1) + 1\cdot 1 = 0 = \text{RHS.}</math>	+	<math>\begin{align}
		+	\text{Linke Seite}
		+	&= 1\cdot (1^{2}-2\cdot 1) + 1\cdot (2-1) \\[5pt]
		+	&= 1\cdot (-1) + 1\cdot 1 = 0 = \text{Rechte Seite.}\end{align}</math>

---

Aktuelle Version

Wir faktorisieren zuerst die beiden Terme in der linken Seite der Gleichung

\displaystyle x(x^{2}-2x) = x\cdot x\cdot (x-2)
\displaystyle x\cdot (2-x) = -x(x-2).

Nachdem wir den gemeinsamen Faktor \displaystyle x(x-2) haben, faktorisieren wir den ganzen Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung

\displaystyle \begin{align} x(x^{2}-2x) + x(2-x) &= x^{2}(x-2) - x(x-2)\\[5pt] &= x\bigl(x(x-2)-(x-2)\bigr)\\[5pt] &= x(x-2)(x-1)\,\textrm{.} \end{align}

Die Gleichung kann jetzt als

\displaystyle x(x-2)(x-1) = 0

geschrieben werden. Diese Gleichung ist erfüllt, wenn einer der Faktoren \displaystyle x, \displaystyle x-2 oder \displaystyle x-1 null ist. Also sind die Lösungen \displaystyle x=0, \displaystyle x=2 und \displaystyle x=1.

Nachdem es nicht ganz offensichtlich ist, ob \displaystyle x=1 eine Lösung ist, kontrollieren wir, ob dies hierbei der Fall ist:

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Seite} &= 1\cdot (1^{2}-2\cdot 1) + 1\cdot (2-1) \\[5pt] &= 1\cdot (-1) + 1\cdot 1 = 0 = \text{Rechte Seite.}\end{align}