Lösung 2.3:2f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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We divide both sides by 3 and complete the square on the left-hand side,
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Wir dividieren zuerst alle Terme mit 3, und führen die quadratische Ergänzung auf der linken Seite aus
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{8}{3}
x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{8}{3}
&= \Bigl(x-\frac{5}{3}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{5}{3}\Bigr)^{2} + \frac{8}{3}\\[5pt]
&= \Bigl(x-\frac{5}{3}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{5}{3}\Bigr)^{2} + \frac{8}{3}\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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The equation then becomes
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Wir bekommen so die Gleichung
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{{Displayed math||<math>\left( x-\frac{5}{3} \right)^{2}=\frac{1}{9}\,\textrm{,}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left( x-\frac{5}{3} \right)^{2}=\frac{1}{9}\,\textrm{.}</math>}}
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and taking the square root gives the solutions as
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Als Wurzeln erhalten wir
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:*<math>x-\tfrac{5}{3} = \sqrt{\tfrac{1}{9}} = \tfrac{1}{3}\,,\quad</math> i.e. <math>x = \tfrac{5}{3} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{6}{3} = 2\,\textrm{,}</math>
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:*<math>x-\tfrac{5}{3} = \sqrt{\tfrac{1}{9}} = \tfrac{1}{3}\,,\quad</math> also <math>x = \tfrac{5}{3} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{6}{3} = 2\,\textrm{,}</math>
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:*<math>x-\tfrac{5}{3} = -\sqrt{\tfrac{1}{9}} = -\tfrac{1}{3}\,,\quad</math> i.e. <math>x = \tfrac{5}{3} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{4}{3}\,\textrm{.}</math>
+
:*<math>x-\tfrac{5}{3} = -\sqrt{\tfrac{1}{9}} = -\tfrac{1}{3}\,,\quad</math> also <math>x = \tfrac{5}{3} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{4}{3}\,\textrm{.}</math>
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Check:
 
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;4/3: <math>\ \text{LHS} = 3\cdot\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)^{2} - 10\cdot\tfrac{4}{3} + 8 = 3\cdot\tfrac{16}{9} - \tfrac{40}{3} + \tfrac{8\cdot 3}{3} = 0 = \text{RHS,}</math>
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Kontrolle:
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;2: <math>\ \text{LHS} = 3\cdot 2^{2} - 10\cdot 2 + 8 = 12 - 20 + 8 = 0 = \text{RHS.}</math>
+
:*''x''&nbsp;=&nbsp;4/3: <math>\ \text{Linke Seite} = 3\cdot\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)^{2} - 10\cdot\tfrac{4}{3} + 8 = 3\cdot\tfrac{16}{9} - \tfrac{40}{3} + \tfrac{8\cdot 3}{3} = 0 = \text{Rechte Seite,}</math>
 +
 
 +
:*''x''&nbsp;=&nbsp;2: <math>\ \text{Linke Seite} = 3\cdot 2^{2} - 10\cdot 2 + 8 = 12 - 20 + 8 = 0 = \text{Rechte Seite.}</math>
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Alternativer Lösungsweg: [[2.3:2f_alt6|p-q_Formel]]

Aktuelle Version

Wir dividieren zuerst alle Terme mit 3, und führen die quadratische Ergänzung auf der linken Seite aus

\displaystyle \begin{align}

x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{8}{3} &= \Bigl(x-\frac{5}{3}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{5}{3}\Bigr)^{2} + \frac{8}{3}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{5}{3}\Bigr)^{2} - \frac{25}{9} + \frac{24}{9}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{5}{3}\Bigr)^{2} - \frac{1}{9}\,\textrm{.} \end{align}

Wir bekommen so die Gleichung

\displaystyle \left( x-\frac{5}{3} \right)^{2}=\frac{1}{9}\,\textrm{.}

Als Wurzeln erhalten wir

  • \displaystyle x-\tfrac{5}{3} = \sqrt{\tfrac{1}{9}} = \tfrac{1}{3}\,,\quad also \displaystyle x = \tfrac{5}{3} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{6}{3} = 2\,\textrm{,}
  • \displaystyle x-\tfrac{5}{3} = -\sqrt{\tfrac{1}{9}} = -\tfrac{1}{3}\,,\quad also \displaystyle x = \tfrac{5}{3} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{4}{3}\,\textrm{.}


Kontrolle:

  • x = 4/3: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)^{2} - 10\cdot\tfrac{4}{3} + 8 = 3\cdot\tfrac{16}{9} - \tfrac{40}{3} + \tfrac{8\cdot 3}{3} = 0 = \text{Rechte Seite,}
  • x = 2: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 2^{2} - 10\cdot 2 + 8 = 12 - 20 + 8 = 0 = \text{Rechte Seite.}

Alternativer Lösungsweg: p-q_Formel

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