Lösung 2.3:2e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Write the equation in normalized form by dividing both sides by 5,
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Wir schreiben die Gleichung auf Normalform, indem wir alle Terme durch 5 dividieren,
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{{Displayed math||<math>x^{2}+\frac{2}{5}x-\frac{3}{5}=0\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+\frac{2}{5}x-\frac{3}{5}=0\,\textrm{.}</math>}}
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Complete the square on the left-hand side,
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Wir führen die quadratische Ergänzung auf der linken Seite aus
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
x^{2}+\frac{2}{5}x-\frac{3}{5}
x^{2}+\frac{2}{5}x-\frac{3}{5}
&= \Bigl(x+\frac{2/5}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{2/5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{3}{5}\\[5pt]
&= \Bigl(x+\frac{2/5}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{2/5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{3}{5}\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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The equation is now rewritten as
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Die Gleichung kann daher als
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{{Displayed math||<math>\left( x+\frac{1}{5} \right)^{2}=\frac{16}{25}\,\textrm{,}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left( x+\frac{1}{5} \right)^{2}=\frac{16}{25}\,\textrm{,}</math>}}
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and taking the root gives the solutions
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geschrieben werden und hat die Wurzeln
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:*<math>x+\tfrac{1}{5} = \sqrt{\tfrac{16}{25}} = \tfrac{4}{5}</math> because <math>\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^{2} = \tfrac{16}{25}\,,</math> which gives <math>x=-\tfrac{1}{5}+\tfrac{4}{5}=\tfrac{3}{5},</math>
+
:*<math>x+\tfrac{1}{5} = \sqrt{\tfrac{16}{25}} = \tfrac{4}{5} </math> nachdem <math>\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^{2} = \tfrac{16}{25}\,,</math> und wir bekommen <math>x=-\tfrac{1}{5}+\tfrac{4}{5}=\tfrac{3}{5},</math>
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:*<math>x+\tfrac{1}{5} = -\sqrt{\tfrac{16}{25}} = -\tfrac{4}{5}\,,</math> which gives <math>x = -\tfrac{1}{5}-\tfrac{4}{5}=-1\,\textrm{.}</math>
+
:*<math>x+\tfrac{1}{5} = -\sqrt{\tfrac{16}{25}} = -\tfrac{4}{5}\,,</math> und wir bekommen <math>x = -\tfrac{1}{5}-\tfrac{4}{5}=-1\,\textrm{.}</math>
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Finally, we check the answer by substituting <math>x=-1</math> and <math>x=3/5</math> into the equation:
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Schließlich kontrollieren wir unsere Antwort, indem wir kontrollieren, ob <math>x=-1</math> und <math>x=3/5</math> die ursprüngliche Gleichung erfüllen
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{LHS} = 5\cdot (-1)^{2} + 2\cdot (-1) - 3 = 5 - 2 - 3 = 0 = \text{RHS,}</math>
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:* <math>x = -1:\ \text{Linke Seite} = 5\cdot (-1)^{2} + 2\cdot (-1) - 3 = 5 - 2 - 3 = 0 = \text{Rechte Seite,}</math>
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;3/5: <math>\ \text{LHS} = 5\cdot\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{2} + 2\cdot\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr) - 3 = 5\cdot\tfrac{9}{25} + \tfrac{6}{5} - \tfrac{3\cdot 5}{5} = 0 = \text{RHS.}</math>
+
:* <math>x = 3/5: \ \text{Linke Seite} = 5\cdot\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{2} + 2\cdot\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr) - 3 = 5\cdot\tfrac{9}{25} + \tfrac{6}{5} - \tfrac{3\cdot 5}{5} = 0 = \text{Rechte Seite.}</math>
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Alternativer Lösungsweg: [[2.3:2e_alt5|p-q_Formel]]

Aktuelle Version

Wir schreiben die Gleichung auf Normalform, indem wir alle Terme durch 5 dividieren,

\displaystyle x^{2}+\frac{2}{5}x-\frac{3}{5}=0\,\textrm{.}

Wir führen die quadratische Ergänzung auf der linken Seite aus

\displaystyle \begin{align}

x^{2}+\frac{2}{5}x-\frac{3}{5} &= \Bigl(x+\frac{2/5}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{2/5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{3}{5}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{1}{5}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{5}\Bigr)^{2} - \frac{3}{5}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{1}{5}\Bigr)^{2} - \frac{1}{25} - \frac{3\cdot 5}{25}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{1}{5}\Bigr)^{2} - \frac{16}{25}\,\textrm{.} \end{align}

Die Gleichung kann daher als

\displaystyle \left( x+\frac{1}{5} \right)^{2}=\frac{16}{25}\,\textrm{,}

geschrieben werden und hat die Wurzeln

  • \displaystyle x+\tfrac{1}{5} = \sqrt{\tfrac{16}{25}} = \tfrac{4}{5} nachdem \displaystyle \bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^{2} = \tfrac{16}{25}\,, und wir bekommen \displaystyle x=-\tfrac{1}{5}+\tfrac{4}{5}=\tfrac{3}{5},
  • \displaystyle x+\tfrac{1}{5} = -\sqrt{\tfrac{16}{25}} = -\tfrac{4}{5}\,, und wir bekommen \displaystyle x = -\tfrac{1}{5}-\tfrac{4}{5}=-1\,\textrm{.}

Schließlich kontrollieren wir unsere Antwort, indem wir kontrollieren, ob \displaystyle x=-1 und \displaystyle x=3/5 die ursprüngliche Gleichung erfüllen

  • \displaystyle x = -1:\ \text{Linke Seite} = 5\cdot (-1)^{2} + 2\cdot (-1) - 3 = 5 - 2 - 3 = 0 = \text{Rechte Seite,}
  • \displaystyle x = 3/5: \ \text{Linke Seite} = 5\cdot\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{2} + 2\cdot\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr) - 3 = 5\cdot\tfrac{9}{25} + \tfrac{6}{5} - \tfrac{3\cdot 5}{5} = 0 = \text{Rechte Seite.}

Alternativer Lösungsweg: p-q_Formel

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