Lösung 4.1:7a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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As the equation stands, it is difficult directly to know anything about the circle, but if we complete the square and combine
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In dieser Form, ist es schwierig den Mittelpunkt und Radius des Kreises abzulesen. Daher benuzen wir quadratische Ergänzung, um die Gleichung auf die Standardform
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<math>x</math>
+
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- and
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<math>y</math>
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- terms together in their own respective square terms, then we will have the equation in the standard form,
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{{Abgesetzte Formel||<math>(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\,,</math>}}
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<math>\left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2}=r^{2}</math>
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zu bringen, wo wir den Mittelpunkt und Radius ablesen können.
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Wir verwenden uns von quadratischer Ergänzung für jeweils die ''x''- und ''y''-Terme und erhalten
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and we will then be able to read off the circle's centre and radius.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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x^2 + 2x &= (x+1)^2-1^2\,\text{ und}\\[5pt]
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y^2 - 2y &= (y-1)^2-1^2\,.
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\end{align}</math>}}
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If we take the
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Also ist die Gleichung
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<math>x</math>
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- and
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<math>y</math>
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- terms on the left-hand side and complete the square, we get
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{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 - 1^2 + (y-1)^2 - 1^2 = 1\,,</math>}}
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<math>x^{2}+2x=\left( x+1 \right)^{2}-1^{2}</math>
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oder auch
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{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 + (y-1)^2 = 3\,\textrm{.}</math>}}
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<math>y^{2}-2y=\left( y-1 \right)^{2}-1^{2}</math>
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Dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt (-1,1) und dem Radius <math>\sqrt{3}\,</math>.
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and then the whole equation can be written as
 
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<center>{{:4.1.7a - Solution - The circle x² + 2x + y² - 2y = 1}}</center>
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<math>\left( x+1 \right)^{2}-1^{2}+\left( y-1 \right)^{2}-1^{2}=1</math>
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or, with the constants moved to the right-hand side,
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<math>\left( x+1 \right)^{2}+\left( y-1 \right)^{2}=3</math>
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-
 
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-
 
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This is a circle having its centre at
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<math>\left( -1 \right.,\left. 1 \right)</math>
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and radius
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<math>\sqrt{3}</math>.
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{{NAVCONTENT_START}}
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<center> [[Image:4_1_7a-2(2).gif]] </center>
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{{NAVCONTENT_STOP}}
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Aktuelle Version

In dieser Form, ist es schwierig den Mittelpunkt und Radius des Kreises abzulesen. Daher benuzen wir quadratische Ergänzung, um die Gleichung auf die Standardform

\displaystyle (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\,,

zu bringen, wo wir den Mittelpunkt und Radius ablesen können.

Wir verwenden uns von quadratischer Ergänzung für jeweils die x- und y-Terme und erhalten

\displaystyle \begin{align}

x^2 + 2x &= (x+1)^2-1^2\,\text{ und}\\[5pt] y^2 - 2y &= (y-1)^2-1^2\,. \end{align}

Also ist die Gleichung

\displaystyle (x+1)^2 - 1^2 + (y-1)^2 - 1^2 = 1\,,

oder auch

\displaystyle (x+1)^2 + (y-1)^2 = 3\,\textrm{.}

Dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt (-1,1) und dem Radius \displaystyle \sqrt{3}\,.


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