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Lösung 4.1:6c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Aktuelle Version (08:23, 20. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
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-
What we need to do is to rewrite the equation in the standard form
+
Wir müssen die Gleichung des Kreises auf die Form
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2}=r^{2}</math>}}
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<math>\left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2}=r^{2}</math>
+
bringen, wo wir direkt den Mittelpunkt <math>(a,b)</math> und den Radius <math>r</math> ablesen können.
 +
Wir klammern zuerst den Faktor <math>3</math> aus:
-
because then we can read off the circle's centre
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>\left( a \right.,\left. b \right)</math>
+
\left( 3x-1 \right)^{2}+\left( 3y+7 \right)^{2}
-
and radius,
+
&= 3^{2}\left( x-\tfrac{1}{3} \right)^{2}+3^{2}\left( y+\tfrac{7}{3} \right)^{2} \\
-
<math>r</math>.
+
&= 9\left( x-\tfrac{1}{3} \right)^{2}+9\left( y+\tfrac{7}{3} \right)^{2} \\
 +
\end{align}</math>}}
-
In our case, we need only take out the factor
+
und dividieren danach beide Seiten durch 9. So erhalten wir die Gleichung
-
<math>~\text{3}</math>
+
-
from the brackets on the left-hand side
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left( x-\tfrac{1}{3} \right)^{2}+\left( y+\tfrac{7}{3} \right)^{2}=\tfrac{10}{9}\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Nachdem die rechte Seite <math>(\sqrt{10/9}\,)^2</math> ist und der Term
-
& \left( 3x-1 \right)^{2}+\left( 3y+7 \right)^{2}=3^{2}\left( x-\frac{1}{3} \right)^{2}+3^{2}\left( y+\frac{7}{3} \right)^{2} \\
+
<math>(y+7/3)^{2}</math> als <math>\bigl(y-(-7/3)\bigr)^2\,.</math>
-
& =9\left( x-\frac{1}{3} \right)^{2}+9\left( y+\frac{7}{3} \right)^{2} \\
+
geschrieben werden kann, erhalten wir eine Gleichung in obiger Form.
-
\end{align}</math>
+
 +
Dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt
 +
<math>(1/3,-7/3)</math> und dem Radius <math>\sqrt{10/9}=\sqrt{10}/3\,.</math>
-
and then divide both sides by
 
-
<math>\text{9}</math>
 
-
, so as to get the equation in the desired form:
 
-
 
+
<center>{{:4.1.6c - Solution - The circle (3x - 1)² + (3y + 7)² = 10}}</center>
-
<math>\left( x-\frac{1}{3} \right)^{2}+\left( y+\frac{7}{3} \right)^{2}=\frac{10}{9}</math>
+
-
 
+
-
Because the right-hand side can be written as
+
-
<math>\left( \sqrt{\frac{10}{9}} \right)^{2}</math>
+
-
and the term
+
-
<math>\left( y+\frac{7}{3} \right)^{2}</math>
+
-
as
+
-
<math></math>
+
-
 
+
-
<math>\left( y-\left( -\frac{7}{3} \right) \right)^{2}</math>, the equation describes a circle with its centre at
+
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<math>\left( \frac{1}{3} \right.,\left. -\frac{7}{3} \right)</math>
+
-
and radius
+
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<math>\sqrt{\frac{10}{9}}=\frac{\sqrt{10}}{3}</math>
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-
 
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{{NAVCONTENT_START}}
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<center> [[Image:4_1_6c-2(2).gif]] </center>
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{{NAVCONTENT_STOP}}
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Aktuelle Version

Wir müssen die Gleichung des Kreises auf die Form

x−a2+y−b2=r2 

bringen, wo wir direkt den Mittelpunkt (ab) und den Radius r ablesen können.

Wir klammern zuerst den Faktor 3 aus:

3x−12+3y+72=32x−312+32y+372=9x−312+9y+372

und dividieren danach beide Seiten durch 9. So erhalten wir die Gleichung

x−312+y+372=910. 

Nachdem die rechte Seite (109)2  ist und der Term (y+73)2 als y−(−73)2  geschrieben werden kann, erhalten wir eine Gleichung in obiger Form.

Dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt (13−73) und dem Radius 109=103 


[Image]

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