Lösung 3.4:3a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Both left- and right-hand sides are positive for all values of
+
Die rechte und linke Seite, sind für alle ''x'' positiv, also können wir die beiden Seiten der Gleichung logarithmieren,
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<math>x</math>
+
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and this means that we can take the logarithm of both sides and get a more manageable equation.
+
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LHS
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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<math>=\ln 2^{-x^{2}}=-x^{2}\centerdot \ln 2,</math>
+
\text{Linke Seite} &= \ln 2^{-x^{2}} = -x^{2}\cdot \ln 2\,,\\[5pt]
 +
\text{Rechte Seite} &= \ln \bigl(2e^{2x}\bigr) = \ln 2 + \ln e^{2x} = \ln 2 + 2x\cdot \ln e = \ln 2 + 2x\cdot 1\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
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RHS
+
Diese Gleichung entspricht
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<math>=\ln \left( 2e^{2x} \right)=\ln 2+\ln e^{2x}=\ln 2+2x\centerdot \ln e=\ln 2+2x\centerdot 1</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0\,\textrm{.}</math>}}
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After a little rearranging, the equation becomes
+
Wir lösen die Gleichung durch quadratische Ergänzung
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{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}}
-
<math>x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0</math>
+
und sammeln alle Terme auf einer Seite
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We complete the square of the left-hand side
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}
 +
Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben <math>e > 2</math> und deshalb <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>. Also haben wir <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, daher ist die rechte Seite positiv.
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<math>\left( x+\frac{1}{\ln 2} \right)^{2}-\left( \frac{1}{\ln 2} \right)^{2}+1=0</math>
+
Also hat die Gleichung die Lösungen
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}
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and move the constant terms over to the right-hand side:
+
was auch als
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}</math>}}
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<math>\left( x+\frac{1}{\ln 2} \right)^{2}=\left( \frac{1}{\ln 2} \right)^{2}-1</math>
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geschrieben werden kann.
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It can be difficult to see whether the right-hand side is positive or not, but if we remember that
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<math>e>2</math>
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and that thus
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<math>\text{ln 2}<\ln e=\text{1}</math>, we must have that
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<math>\left( {1}/{\ln 2}\; \right)^{2}>1</math>, i.e. the right-hand side is positive.
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The equation therefore has the solutions
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<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\left( \frac{1}{\ln 2} \right)^{2}-1,}</math>
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which can also be written as
+
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<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-\left( \ln 2 \right)^{2}}}{\ln 2}</math>
+

Aktuelle Version

Die rechte und linke Seite, sind für alle x positiv, also können wir die beiden Seiten der Gleichung logarithmieren,

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= \ln 2^{-x^{2}} = -x^{2}\cdot \ln 2\,,\\[5pt] \text{Rechte Seite} &= \ln \bigl(2e^{2x}\bigr) = \ln 2 + \ln e^{2x} = \ln 2 + 2x\cdot \ln e = \ln 2 + 2x\cdot 1\,\textrm{.} \end{align}

Diese Gleichung entspricht

\displaystyle x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0\,\textrm{.}

Wir lösen die Gleichung durch quadratische Ergänzung

\displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,

und sammeln alle Terme auf einer Seite

\displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}

Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben \displaystyle e > 2 und deshalb \displaystyle \ln 2 < \ln e = 1\,. Also haben wir \displaystyle (1/\ln 2)^{2} > 1\,, daher ist die rechte Seite positiv.

Also hat die Gleichung die Lösungen

\displaystyle x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,

was auch als

\displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}

geschrieben werden kann.

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