Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Version vom 13:15, 23. Sep. 2008 (bearbeiten) Ian (Diskussion | Beiträge) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Aktuelle Version (21:46, 5. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig) Moni (Diskussion | Beiträge) (Vorzeichenfehler)
(Der Versionsvergleich bezieht 7 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1:		Zeile 1:
-	First, we move the	+	Wir subtrahieren zuerst 2 von beiden Seiten und erhalten so die Gleichung <math>\sqrt{3x-8}=x-2</math>, die wir quadrieren:
-	<math>\text{2}</math>	+
-	to the right-hand side to get	+
-	<math>\sqrt{3x-8}=x-2</math>	+
-	and then square away the root sign,	+
-	(*)	+	{{Abgesetzte Formel||<math>3x-8 = (x-2)^{2}\,.</math>|(*)}}
-	<math>3x-8=\left( x-2 \right)^{2}</math>	+
		+	Wir erweitern die rechte Seite
-	or, with the right-hand side expanded	+	{{Abgesetzte Formel||<math>3x-8=x^{2}-4x+4\,\textrm{.}</math>}}
		+	Wenn wir alle Terme auf der linken Seite sammeln, erhalten wir
-	<math>3x-8=x^{2}-4x+4</math>	+	{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+12=0\,\textrm{.}</math>}}
		+	Mit quadratischer Ergänzung bekommen wir
-	If we move over all the terms to the left-hand side, we get	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	x^2-7x+12 &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2 + 12\\[5pt]
		+	&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{48}{4}\\[5pt]
		+	&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4}
		+	\end{align}</math>}}
		+	Wir können die Gleichung umschreiben
-	<math>x^{2}-7x+12=0</math>	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}</math>}}
		+	und sehen, dass die Lösungen
-	If we complete the square of the left-hand side,	+	:*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4\,,</math>
		+	:*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\textrm{.}</math>
-	<math>\begin{align}	+	sind. Wir kontrollieren zur Sicherheit, ob die Lösungen die quadratische Gleichung (*) erfüllen
-	& x^{2}-7x+12=\left( x-\frac{7}{2} \right)^{2}-\left( \frac{7}{2} \right)^{2}+12 \\	+
-	& =\left( x-\frac{7}{2} \right)^{2}-\frac{49}{4}+\frac{48}{4} \\	+
-	& =\left( x-\frac{7}{2} \right)^{2}-\frac{1}{4} \\	+
-	\end{align}</math>	+
		+	{|
		+	||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;3:</li></ul>
		+	||<math>\ \text{Linke Seite} = 3\cdot 3-8 = 9-8 = 1</math> und
		+	|-
		+	||
		+	||<math>\ \text{Rechte Seite} = (3-2)^2 = 1</math>
		+	|-
		+	||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;4:</li></ul>
		+	||<math>\ \text{Linke Seite} = 3\cdot 4-8 = 12-8 = 4</math> und
		+	|-
		+	||
		+	||<math>\ \text{Rechte Seite} = (4-2)^2 = 4</math>
		+	|}
-	the equation can be written as	+	Nachdem wir unsere Gleichung quadriert haben, müssen wir unbedingt testen, ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen:
-		+	{|
-	<math>\left( x-\frac{7}{2} \right)^{2}=\frac{1}{4}</math>	+	||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;3:</li></ul>
-		+	||<math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 3-8} + 2 = \sqrt{9-8} + 2 = 1+2 = 3</math> und
-		+	|-
-	and the solutions are	+	||
-		+	||<math>\ \text{Rechte Seite} = 3</math>
-		+	|-
-	<math>x=\frac{7}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}=\frac{8}{2}=4</math>	+	||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;4:</li></ul>
-		+	||<math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 4-8} + 2 = \sqrt{12-8}+2 = 2+2 = 4</math> und
-		+	|-
-	<math>x=\frac{7}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}=\frac{6}{2}=3</math>	+	||
-		+	||<math>\ \text{Rechte Seite} = 4</math>
-	To be on the safe side, we verify that	+	|}
-	<math>x=\text{3 }</math>	+	Die Lösungen sind also <math>x=3</math> und <math>x=4</math>.
-	and	+
-	<math>x=\text{4}</math>	+
-	satisfy the squared equation (*)	+
-		+
-		+
-	<math>x=\text{3 }</math>: LHS	+
-	<math>=3\centerdot 3-8=9-8=1</math>	+
-	and RHS	+
-	<math>=\left( 3-2 \right)^{2}=1</math>	+
-		+
-		+
-	<math>x=\text{4}</math>: LHS	+
-	<math>=3\centerdot 4-8=12-8=4</math>	+
-	and RHS	+
-	<math>=\left( 4\centerdot 2 \right)^{2}=4</math>	+
-		+
-		+
-	Because we squared the root equation, possible false roots turn up and we therefore have to verify the solutions when we go back to the original root equation:	+
-		+
-		+
-	<math>x=\text{3 }</math>: LHS	+
-	<math>=\sqrt{3\centerdot 3-8}+2=\sqrt{9-8}+2=1+2=3</math>	+
-		+
-	RHS	+
-	<math>=3</math>	+
-		+
-		+
-	<math>x=\text{4}</math>: LHS	+
-	<math>=\sqrt{3\centerdot 4-8}-2=\sqrt{12-8}-2=2+2=4</math>	+
-		+
-	RHS	+
-	<math>=4</math>	+
-		+
-		+
-	The solutions to the root equation are	+
-	<math>x=\text{3 }</math>	+
-	and	+
-	<math>x=\text{4}</math>.	+

---

Aktuelle Version

Wir subtrahieren zuerst 2 von beiden Seiten und erhalten so die Gleichung \displaystyle \sqrt{3x-8}=x-2, die wir quadrieren:

\displaystyle 3x-8 = (x-2)^{2}\,.

(*)

Wir erweitern die rechte Seite

\displaystyle 3x-8=x^{2}-4x+4\,\textrm{.}

Wenn wir alle Terme auf der linken Seite sammeln, erhalten wir

\displaystyle x^{2}-7x+12=0\,\textrm{.}

Mit quadratischer Ergänzung bekommen wir

\displaystyle \begin{align} x^2-7x+12 &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2 + 12\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{48}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} \end{align}

Wir können die Gleichung umschreiben

\displaystyle \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}

und sehen, dass die Lösungen

• \displaystyle x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4\,,

• \displaystyle x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\textrm{.}

sind. Wir kontrollieren zur Sicherheit, ob die Lösungen die quadratische Gleichung (*) erfüllen

x = 3:	\displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 3-8 = 9-8 = 1 und
	\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (3-2)^2 = 1
x = 4:	\displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 4-8 = 12-8 = 4 und
	\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (4-2)^2 = 4

Nachdem wir unsere Gleichung quadriert haben, müssen wir unbedingt testen, ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen:

x = 3:	\displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 3-8} + 2 = \sqrt{9-8} + 2 = 1+2 = 3 und
	\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 3
x = 4:	\displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 4-8} + 2 = \sqrt{12-8}+2 = 2+2 = 4 und
	\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 4

Die Lösungen sind also \displaystyle x=3 und \displaystyle x=4.