Lösung 2.1:5b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K
Aktuelle Version (22:26, 8. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 4 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
We can factorize the denominators as
+
Wir faktorisieren die beiden Nenner
-
{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
y^{2}-2y &= y(y-2)\\
y^{2}-2y &= y(y-2)\\
-
y^{2}-4 &= (y-2)(y+2)\quad\text{[difference of two squares]}
+
y^{2}-4 &= (y-2)(y+2)
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
and then we see that the terms' lowest common denominator is <math>y(y-2)(y+2)</math> because it is the product that contains the smallest number of factors which contain both <math>y(y-2)</math> and <math>(y-2)(y+2)</math>.
+
und sehen, dass der kleinste gemeinsamer Nenner <math>y(y-2)(y+2)</math> ist.
-
Now, we rewrite the fractions so that they have same denominators and start simplifying
+
Jetzt erweitern wir die beiden Brüche, sodass sie denselben Nenner bekommen und vereinfachen
-
{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\frac{1}{y^{2}-2y}-\frac{2}{y^{2}-4}
\frac{1}{y^{2}-2y}-\frac{2}{y^{2}-4}
&= \frac{1}{y(y-2)}\cdot\frac{y+2}{y+2}-\frac{2}{(y-2)(y+2)}\cdot\frac{y}{y}\\[5pt]
&= \frac{1}{y(y-2)}\cdot\frac{y+2}{y+2}-\frac{2}{(y-2)(y+2)}\cdot\frac{y}{y}\\[5pt]
Zeile 18: Zeile 18:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
The numerator can be rewritten as <math>-y+2=-(y-2)</math> and we can eliminate the common factor <math>y-2</math>,
+
Der Zähler kann wie <math>-y+2=-(y-2)</math> geschrieben werden und wir können den Bruch mit dem Faktor <math>y-2</math> kürzen
-
{{Displayed math||<math>\frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-(y-2)}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-1}{y(y+2)} = -\frac{1}{y(y+2)}\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-(y-2)}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-1}{y(y+2)} = -\frac{1}{y(y+2)}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Wir faktorisieren die beiden Nenner

\displaystyle \begin{align}

y^{2}-2y &= y(y-2)\\ y^{2}-4 &= (y-2)(y+2) \end{align}

und sehen, dass der kleinste gemeinsamer Nenner \displaystyle y(y-2)(y+2) ist.

Jetzt erweitern wir die beiden Brüche, sodass sie denselben Nenner bekommen und vereinfachen

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{y^{2}-2y}-\frac{2}{y^{2}-4} &= \frac{1}{y(y-2)}\cdot\frac{y+2}{y+2}-\frac{2}{(y-2)(y+2)}\cdot\frac{y}{y}\\[5pt] &= \frac{y+2}{y(y-2)(y+2)} - \frac{2y}{(y-2)(y+2)y}\\[5pt] &= \frac{y+2-2y}{y(y-2)(y+2)}\\[5pt] &= \frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)}\,\textrm{.} \end{align}

Der Zähler kann wie \displaystyle -y+2=-(y-2) geschrieben werden und wir können den Bruch mit dem Faktor \displaystyle y-2 kürzen

\displaystyle \frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-(y-2)}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-1}{y(y+2)} = -\frac{1}{y(y+2)}\,\textrm{.}
Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.1:5b“