Lösung 3.1:7a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K
 
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-
First, we multiply the tops and bottoms of the two terms by the conjugate of their respective denominators, so that there are no root signs left in the denominators,
+
Wir erweitern den Bruch mit dem konjugierten Nenner
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}
 +
&= \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}\\[5pt]
 +
&= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{5})^{2}}\\[5pt]
 +
&= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5}\\[5pt]
 +
&= \sqrt{6}+\sqrt{5}\,,\\[10pt]
 +
\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}
 +
&= \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}\cdot \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}\\[5pt]
 +
&= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{6})^{2}}\\[5pt]
 +
&= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{7-6}\\[5pt]
 +
&= \sqrt{7}+\sqrt{6}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Wir subtrahieren den zweiten Term vom ersten und vereinfachen
-
& \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}\centerdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{\left( \sqrt{6} \right)^{2}-\left( \sqrt{5} \right)^{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5}=\sqrt{6}+\sqrt{5}, \\
+
-
& \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}\centerdot \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\left( \sqrt{7} \right)^{2}-\left( \sqrt{6} \right)^{2}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{7-6}=\sqrt{7}+\sqrt{6}, \\
+
-
& \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
Now, we can subtract the terms and simplify the result,
+
\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}
-
 
+
&= \sqrt{6}+\sqrt{5}-(\sqrt{7}+\sqrt{6})\\[5pt]
-
 
+
&= \sqrt{6}+\sqrt{5}-\sqrt{7}-\sqrt{6}\\[5pt]
-
<math>\begin{align}
+
&= \sqrt{5}-\sqrt{7}\,\textrm{.}
-
& \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}=\sqrt{6}+\sqrt{5}-\left( \sqrt{7}+\sqrt{6} \right) \\
+
\end{align}</math>}}
-
& =\sqrt{6}+\sqrt{5}-\sqrt{7}-\sqrt{6}=\sqrt{5}-\sqrt{7}. \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Wir erweitern den Bruch mit dem konjugierten Nenner

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} &= \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{5})^{2}}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5}\\[5pt] &= \sqrt{6}+\sqrt{5}\,,\\[10pt] \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}} &= \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}\cdot \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{6})^{2}}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{7-6}\\[5pt] &= \sqrt{7}+\sqrt{6}\,\textrm{.} \end{align}

Wir subtrahieren den zweiten Term vom ersten und vereinfachen

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}} &= \sqrt{6}+\sqrt{5}-(\sqrt{7}+\sqrt{6})\\[5pt] &= \sqrt{6}+\sqrt{5}-\sqrt{7}-\sqrt{6}\\[5pt] &= \sqrt{5}-\sqrt{7}\,\textrm{.} \end{align}

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