Lösung 3.1:6d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
The problem with this expression is that the denominator contains three roots and so there is no simple way to get rid of all root signs at once; rather, we need to work step by step. In the first step, we view the numerator as
+
Die Schwierigkeit in diesem Problem liegt darin, dass der Nenner aus drei Wurzeln besteht. Daher müssen wir in mehreren Schritten arbeiten, um den Bruch zu vereinfachen. Im ersten Schritt betrachten wir den Nenner als <math>(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{6}</math> und erweitern den Bruch mit dem konjugierten Nenner <math>(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}\,</math>.
-
<math>\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)+\sqrt{6}</math>
+
-
and multiply the top and bottom of the fraction by the conjugate-like expression
+
-
<math>\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)-\sqrt{6}</math>
+
-
Then, at least
+
-
<math>\sqrt{6}</math>
+
-
will be squared away using the conjugate rule
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{6}}\cdot \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}}
 +
&= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{6})^{2}}\\[10pt]
 +
&= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}-6}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Wir erweitern den Ausdruck <math>(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}</math> mit der binomischen Formel
-
& \frac{1}{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)+\sqrt{6}}\centerdot \frac{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)-\sqrt{6}}{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)-\sqrt{6}}=\frac{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)-\sqrt{6}}{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)^{2}-\left( \sqrt{6} \right)^{2}} \\
+
-
& =\frac{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)-\sqrt{6}}{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)^{2}-6} \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}-6}
 +
&= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{(\sqrt{2})^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}-6}\\[10pt]
 +
&= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2+2\sqrt{2\cdot 3}+3-6}\\[10pt]
 +
&= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2\sqrt{6}-1}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
We expand the remaining quadratic,
+
Der Nenner besteht jetzt nur mehr aus einer Wurzel, die wir los werden, indem wir den Bruch mit <math>2\sqrt{6}+1</math> erweitern,
-
<math>\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)^{2}</math>, using the squaring rule
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>\begin{align}
+
\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2\sqrt{6}-1}
-
& \frac{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)-\sqrt{6}}{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)^{2}-6}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\left( \sqrt{2} \right)^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{3}+\left( \sqrt{3} \right)^{2}-6} \\
+
&= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2\sqrt{6}-1}\cdot\frac{2\sqrt{6}+1}{2\sqrt{6}+1}\\[10pt]
-
& =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2+2\sqrt{2\centerdot 3}+3-6}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2\sqrt{6}-1} \\
+
&= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6})(2\sqrt{6}+1)}{(2\sqrt{6})^{2}-1^{2}}\\[10pt]
-
\end{align}</math>
+
&= \frac{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{6}+\sqrt{2}\cdot 1+\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}+\sqrt{3}\cdot 1-\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{6}-\sqrt{6}\cdot 1}{2^{2}(\sqrt{6})^{2}-1^{2}}\\[10pt]
-
 
+
&= \frac{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2\cdot 3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2\cdot 3}+\sqrt{3}-2(\sqrt{6})^{2}-\sqrt{6}}{4\cdot 6-1^{2}}\\[10pt]
-
 
+
&= \frac{2(\sqrt{2})^{2}\sqrt{3}+\sqrt{2}+2(\sqrt{3})^{2}\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\cdot 6-\sqrt{6}}{24-1}\\[10pt]
-
This expression has only a root sign in the denominator and we can then complete the calculation by multiplying top and bottom by the conjugate
+
&= \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{3}+\sqrt{2}+2\cdot 3\cdot \sqrt{2}+\sqrt{3}-12-\sqrt{6}}{23}\\[10pt]
-
<math>2\sqrt{6}+1</math>,
+
&= \frac{(1+2\cdot 3)\sqrt{2}+(2\cdot 2+1)\sqrt{3}-12-\sqrt{6}}{23}\\[10pt]
-
 
+
&= \frac{7\sqrt{2}+5\sqrt{3}-\sqrt{6}-12}{23}\,\textrm{.}
-
<math>\begin{align}
+
\end{align}</math>}}
-
& \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2\sqrt{6}-1}\centerdot \frac{2\sqrt{6}+1}{2\sqrt{6}+1}=\frac{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6} \right)\left( 2\sqrt{6}+1 \right)}{\left( 2\sqrt{6} \right)^{2}-1^{2}} \\
+
-
& =\frac{\sqrt{2}\centerdot 2\sqrt{6}+\sqrt{2}\centerdot 1+\sqrt{3}\centerdot 2\sqrt{6}+\sqrt{3}\centerdot 1-\sqrt{6}\centerdot 2\sqrt{6}-\sqrt{6}\centerdot 1}{2^{2}\left( \sqrt{6} \right)^{2}-1^{2}} \\
+
-
& =\frac{\sqrt{2}\centerdot 2\sqrt{2\centerdot 3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}\centerdot 2\sqrt{2\centerdot 3}+\sqrt{3}-2\left( \sqrt{6} \right)^{2}-\sqrt{6}}{4\centerdot 6-1^{2}} \\
+
-
& =\frac{2\left( \sqrt{2} \right)^{2}\sqrt{3}+\sqrt{2}+2\left( \sqrt{3} \right)^{2}\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\centerdot 6-\sqrt{6}}{24-1} \\
+
-
& =\frac{2\centerdot 2\centerdot \sqrt{3}+\sqrt{2}+2\centerdot 3\centerdot \sqrt{2}+\sqrt{3}-12-\sqrt{6}}{23} \\
+
-
& =\frac{\left( 1+2\centerdot 3 \right)\sqrt{2}+\left( 2\centerdot 2+1 \right)\sqrt{3}-12-\sqrt{6}}{23} \\
+
-
& =\frac{7\sqrt{2}+5\sqrt{3}-\sqrt{6}-12}{23} \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Die Schwierigkeit in diesem Problem liegt darin, dass der Nenner aus drei Wurzeln besteht. Daher müssen wir in mehreren Schritten arbeiten, um den Bruch zu vereinfachen. Im ersten Schritt betrachten wir den Nenner als \displaystyle (\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{6} und erweitern den Bruch mit dem konjugierten Nenner \displaystyle (\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}\,.

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{6}}\cdot \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}} &= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{6})^{2}}\\[10pt] &= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}-6}\,\textrm{.} \end{align}

Wir erweitern den Ausdruck \displaystyle (\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2} mit der binomischen Formel

\displaystyle \begin{align}

\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}-6} &= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{(\sqrt{2})^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}-6}\\[10pt] &= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2+2\sqrt{2\cdot 3}+3-6}\\[10pt] &= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2\sqrt{6}-1}\,\textrm{.} \end{align}

Der Nenner besteht jetzt nur mehr aus einer Wurzel, die wir los werden, indem wir den Bruch mit \displaystyle 2\sqrt{6}+1 erweitern,

\displaystyle \begin{align}

\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2\sqrt{6}-1} &= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2\sqrt{6}-1}\cdot\frac{2\sqrt{6}+1}{2\sqrt{6}+1}\\[10pt] &= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6})(2\sqrt{6}+1)}{(2\sqrt{6})^{2}-1^{2}}\\[10pt] &= \frac{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{6}+\sqrt{2}\cdot 1+\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}+\sqrt{3}\cdot 1-\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{6}-\sqrt{6}\cdot 1}{2^{2}(\sqrt{6})^{2}-1^{2}}\\[10pt] &= \frac{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2\cdot 3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2\cdot 3}+\sqrt{3}-2(\sqrt{6})^{2}-\sqrt{6}}{4\cdot 6-1^{2}}\\[10pt] &= \frac{2(\sqrt{2})^{2}\sqrt{3}+\sqrt{2}+2(\sqrt{3})^{2}\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\cdot 6-\sqrt{6}}{24-1}\\[10pt] &= \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{3}+\sqrt{2}+2\cdot 3\cdot \sqrt{2}+\sqrt{3}-12-\sqrt{6}}{23}\\[10pt] &= \frac{(1+2\cdot 3)\sqrt{2}+(2\cdot 2+1)\sqrt{3}-12-\sqrt{6}}{23}\\[10pt] &= \frac{7\sqrt{2}+5\sqrt{3}-\sqrt{6}-12}{23}\,\textrm{.} \end{align}

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