Lösung 1.3:5f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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The whole expression is quite complicated, so it can be useful to simplify the terms <math>\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}</math> and <math>\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2}</math> first,
+
Der ganze Ausdruck ist relativ umständlich zu berechnen. Daher berechnen wir die Faktoren <math>\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}</math> und <math>\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2}</math> je für sich
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2} &= 125^{\frac{1}{3}\cdot 2} = 125^{\frac{2}{3}}\,,\\[5pt]
\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2} &= 125^{\frac{1}{3}\cdot 2} = 125^{\frac{2}{3}}\,,\\[5pt]
\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2} &= 27^{\frac{1}{3}\cdot (-2)} = 27^{-\frac{2}{3}}\,\textrm{.}\end{align}</math>}}
\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2} &= 27^{\frac{1}{3}\cdot (-2)} = 27^{-\frac{2}{3}}\,\textrm{.}\end{align}</math>}}
-
Then, the bases 125, 27 and 9 can be rewritten as
+
Danach schreiben wir 27 und 9 als Potenzen mit der Basis 3 und 125 als Potenz mit der Basis 5:
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
125 &= 5\cdot 25 = 5\cdot 5\cdot 5 = 5^{3},\\
+
27 &= 3\cdot 9 = 3\cdot 3\cdot 3 = 3^{3},\\
27 &= 3\cdot 9 = 3\cdot 3\cdot 3 = 3^{3},\\
-
9 &= 3\cdot 3 = 3^{2}\textrm{.}
+
9 &= 3\cdot 3 = 3^{2},\\
 +
125 &= 5\cdot 25 = 5\cdot 5\cdot 5 = 5^{3} \textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
With the help of the power rules,
+
Und zuletzt vereinfachen wir den Ausdruck mit den Rechenregeln für Potenzen
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}\cdot\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2}\cdot 9^{\frac{1}{2}} &= 125^{\frac{2}{3}}\cdot 27^{-\frac{2}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{2}}\\[5pt]
\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}\cdot\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2}\cdot 9^{\frac{1}{2}} &= 125^{\frac{2}{3}}\cdot 27^{-\frac{2}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{2}}\\[5pt]
&= \bigl(5^{3}\bigr)^{\frac{2}{3}}\cdot \bigl(3^{3}\bigr)^{-\frac{2}{3}}\cdot \bigl(3^{2}\bigr)^{\frac{1}{2}}\\[5pt]
&= \bigl(5^{3}\bigr)^{\frac{2}{3}}\cdot \bigl(3^{3}\bigr)^{-\frac{2}{3}}\cdot \bigl(3^{2}\bigr)^{\frac{1}{2}}\\[5pt]

Aktuelle Version

Der ganze Ausdruck ist relativ umständlich zu berechnen. Daher berechnen wir die Faktoren \displaystyle \bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2} und \displaystyle \bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2} je für sich

\displaystyle \begin{align}

\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2} &= 125^{\frac{1}{3}\cdot 2} = 125^{\frac{2}{3}}\,,\\[5pt] \bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2} &= 27^{\frac{1}{3}\cdot (-2)} = 27^{-\frac{2}{3}}\,\textrm{.}\end{align}

Danach schreiben wir 27 und 9 als Potenzen mit der Basis 3 und 125 als Potenz mit der Basis 5:

\displaystyle \begin{align}

27 &= 3\cdot 9 = 3\cdot 3\cdot 3 = 3^{3},\\ 9 &= 3\cdot 3 = 3^{2},\\ 125 &= 5\cdot 25 = 5\cdot 5\cdot 5 = 5^{3} \textrm{.} \end{align}

Und zuletzt vereinfachen wir den Ausdruck mit den Rechenregeln für Potenzen

\displaystyle \begin{align}

\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}\cdot\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2}\cdot 9^{\frac{1}{2}} &= 125^{\frac{2}{3}}\cdot 27^{-\frac{2}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{2}}\\[5pt] &= \bigl(5^{3}\bigr)^{\frac{2}{3}}\cdot \bigl(3^{3}\bigr)^{-\frac{2}{3}}\cdot \bigl(3^{2}\bigr)^{\frac{1}{2}}\\[5pt] &= 5^{3\cdot\frac{2}{3}}\cdot 3^{3\cdot (-\frac{2}{3})}\cdot 3^{2\cdot\frac{1}{2}}\\[5pt] &= 5^{2}\cdot 3^{-2}\cdot 3^{1}\\[5pt] &= 5^{2}\cdot 3^{-2+1}\\[5pt] &= 5^{2}\cdot 3^{-1}\\[5pt] &= 5\cdot 5\cdot \frac{1}{3}\\[5pt] &= \frac{25}{3}\,\textrm{.} \end{align}

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