Lösung 3.1:4d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (10:12, 9. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 5 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
We start by factorizing the numbers under the root sign,
+
Wir zerlegen alle Terme in ihre Primfaktoren
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
48 &= 2\cdot 24 = 2\cdot 2\cdot 12 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 6 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^{4}\cdot 3\,,\\
 +
12 &= 2\cdot 6 = 2\cdot 2\cdot 3 = 2^{2}\cdot 3\,,\\
 +
3 &= 3\,,\\
 +
75 &= 3\cdot 25 = 3\cdot 5\cdot 5 = 3\cdot 5^{2}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
und ziehen die Quadrate von der Wurzel heraus
-
& 48=2\centerdot 24=2\centerdot 2\centerdot 12=2\centerdot 2\centerdot 2\centerdot 6=2\centerdot 2\centerdot 2\centerdot 2\centerdot 3=2^{4}\centerdot 3, \\
+
-
& 12=2\centerdot 6=2\centerdot 2\centerdot 3=2^{2}\centerdot 3, \\
+
-
& 3=3, \\
+
-
& 75=3\centerdot 25=3\centerdot 5\centerdot 5=3\centerdot 5^{2} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
Now, we can take the squares out from under the root signs,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\sqrt{48} &= \sqrt{2^4\cdot 3} = 2^2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\,,\\[5pt]
 +
\sqrt{12} &= \sqrt{2^2\cdot 3} = 2\sqrt{3},\\[5pt]
 +
\sqrt{3} &= \sqrt{3}\,,\\[5pt]
 +
\sqrt{75} &= \sqrt{3\cdot 5^{2}} = 5\sqrt{3}\,.
 +
\end{align}</math>}}
 +
Wir vereinfachen und erhalten schließlich
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
& \sqrt{48}=\sqrt{2^{4}\centerdot 3}=2^{2}\sqrt{3}=4\sqrt{3} \\
+
\sqrt{48} + \sqrt{12} + \sqrt{3} - \sqrt{75}
-
& \sqrt{12}=\sqrt{2^{2}\centerdot 3}=2\sqrt{3} \\
+
&= 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + \sqrt{3} - 5\sqrt{3}\\[5pt]
-
& \sqrt{3}=\sqrt{3} \\
+
&= (4+2+1-5)\sqrt{3}\\[5pt]
-
& \sqrt{75}=\sqrt{3\centerdot 5^{2}}=5\sqrt{3} \\
+
&= 2\sqrt{3}\,\textrm{.}
-
\end{align}</math>
+
\end{align}</math>}}
-
 
+
-
 
+
-
and then simplify the whole expression:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \sqrt{48}+\sqrt{12}+\sqrt{3}-\sqrt{75}=4\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}-5\sqrt{3} \\
+
-
& =\left( 4+2+1-5 \right)\sqrt{3}=2\sqrt{3} \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Wir zerlegen alle Terme in ihre Primfaktoren

\displaystyle \begin{align}

48 &= 2\cdot 24 = 2\cdot 2\cdot 12 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 6 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^{4}\cdot 3\,,\\ 12 &= 2\cdot 6 = 2\cdot 2\cdot 3 = 2^{2}\cdot 3\,,\\ 3 &= 3\,,\\ 75 &= 3\cdot 25 = 3\cdot 5\cdot 5 = 3\cdot 5^{2}\,\textrm{.} \end{align}

und ziehen die Quadrate von der Wurzel heraus

\displaystyle \begin{align}

\sqrt{48} &= \sqrt{2^4\cdot 3} = 2^2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\,,\\[5pt] \sqrt{12} &= \sqrt{2^2\cdot 3} = 2\sqrt{3},\\[5pt] \sqrt{3} &= \sqrt{3}\,,\\[5pt] \sqrt{75} &= \sqrt{3\cdot 5^{2}} = 5\sqrt{3}\,. \end{align}

Wir vereinfachen und erhalten schließlich

\displaystyle \begin{align}

\sqrt{48} + \sqrt{12} + \sqrt{3} - \sqrt{75} &= 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + \sqrt{3} - 5\sqrt{3}\\[5pt] &= (4+2+1-5)\sqrt{3}\\[5pt] &= 2\sqrt{3}\,\textrm{.} \end{align}

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.1:4d“