Lösung 3.1:4c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K
 
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Each term in the expression can be simplified by breaking down the number under the root sign into its factors,
+
Indem wir jeden Term in seine Primfaktoren zerlegen, erhalten wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
50 &= 5\cdot 10 = 5\cdot 5\cdot 2 = 2\cdot 5^{2}\,,\\[5pt]
 +
20 &= 2\cdot 10 = 2\cdot 2\cdot 5 = 2^{2}\cdot 5\,,\\[5pt]
 +
18 &= 2\cdot 9 = 2\cdot 3\cdot 3 = 2\cdot 3^{2}\,,\\[5pt]
 +
80 &= 8\cdot 10 = (2\cdot 4)\cdot (2\cdot 5) = (2\cdot 2\cdot 2)\cdot (2\cdot 5) = 2^{4}\cdot 5\,,
 +
\end{align}</math>}}
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<math>\begin{align}
+
Hier ziehen wir alle Quadrate aus der Wurzel heraus
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& 50=5\centerdot 10=5\centerdot 5\centerdot 2=2\centerdot 5^{2} \\
+
-
& 20=2\centerdot 10=2\centerdot 2\centerdot 5=2^{2}\centerdot 5 \\
+
-
& 18=2\centerdot 9=2\centerdot 3\centerdot 3=2\centerdot 3^{2} \\
+
-
& 80=8\centerdot 10=\left( 2\centerdot 4 \right)\centerdot \left( 2\centerdot 5 \right)=\left( 2\centerdot 2\centerdot 2 \right)\centerdot \left( 2\centerdot 5 \right)=2^{4}\centerdot 5 \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
and then taking the squares out from under the root sign.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\sqrt{50} &= \sqrt{2\cdot 5^2} = 5\sqrt{2}\,,\\
 +
\sqrt{20} &= \sqrt{2^2\cdot 5} = 2\sqrt{5}\,,\\
 +
\sqrt{18} &= \sqrt{2\cdot 3^2} = 3\sqrt{2}\,,\\
 +
\sqrt{80} &= \sqrt{2^4\cdot 5} = 2^{2}\sqrt{5} = 4\sqrt{5}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
Wir erhalten so
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
& \sqrt{50}=\sqrt{2\centerdot 5^{2}}=5\sqrt{2} \\
+
\sqrt{50} + 4\sqrt{20} - 3\sqrt{18} - 2\sqrt{80}
-
& \sqrt{20}=\sqrt{2^{2}\centerdot 5}=2\sqrt{5} \\
+
&= 5\sqrt{2} + 4\cdot 2\sqrt{5} - 3\cdot 3\sqrt{2} - 2\cdot 4\sqrt{5}\\[5pt]
-
& \sqrt{18}=\sqrt{2\centerdot 3^{2}}=3\sqrt{2} \\
+
&= 5\sqrt{2} + 8\sqrt{5} - 9\sqrt{2} - 8\sqrt{5}\\[5pt]
-
& \sqrt{80}=\sqrt{2^{4}\centerdot 5}=2^{2}\sqrt{5}=4\sqrt{5} \\
+
&= (5-9)\sqrt{2} + (8-8)\sqrt{5} = -4\sqrt{2}\,\textrm{.}
-
\end{align}</math>
+
\end{align}</math>}}
-
 
+
-
 
+
-
All together, we get
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \sqrt{50}+4\sqrt{20}-3\sqrt{18}-2\sqrt{80} \\
+
-
& =5\sqrt{2}+4\centerdot 2\sqrt{5}-3\centerdot 3\sqrt{2}-2\centerdot 4\sqrt{5} \\
+
-
& =5\sqrt{2}+8\sqrt{5}-9\sqrt{2}-8\sqrt{5} \\
+
-
& =\left( 5-9 \right)\sqrt{2}+\left( 8-8 \right)\sqrt{5}=-4\sqrt{2} \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Indem wir jeden Term in seine Primfaktoren zerlegen, erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

50 &= 5\cdot 10 = 5\cdot 5\cdot 2 = 2\cdot 5^{2}\,,\\[5pt] 20 &= 2\cdot 10 = 2\cdot 2\cdot 5 = 2^{2}\cdot 5\,,\\[5pt] 18 &= 2\cdot 9 = 2\cdot 3\cdot 3 = 2\cdot 3^{2}\,,\\[5pt] 80 &= 8\cdot 10 = (2\cdot 4)\cdot (2\cdot 5) = (2\cdot 2\cdot 2)\cdot (2\cdot 5) = 2^{4}\cdot 5\,, \end{align}

Hier ziehen wir alle Quadrate aus der Wurzel heraus

\displaystyle \begin{align}

\sqrt{50} &= \sqrt{2\cdot 5^2} = 5\sqrt{2}\,,\\ \sqrt{20} &= \sqrt{2^2\cdot 5} = 2\sqrt{5}\,,\\ \sqrt{18} &= \sqrt{2\cdot 3^2} = 3\sqrt{2}\,,\\ \sqrt{80} &= \sqrt{2^4\cdot 5} = 2^{2}\sqrt{5} = 4\sqrt{5}\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten so

\displaystyle \begin{align}

\sqrt{50} + 4\sqrt{20} - 3\sqrt{18} - 2\sqrt{80} &= 5\sqrt{2} + 4\cdot 2\sqrt{5} - 3\cdot 3\sqrt{2} - 2\cdot 4\sqrt{5}\\[5pt] &= 5\sqrt{2} + 8\sqrt{5} - 9\sqrt{2} - 8\sqrt{5}\\[5pt] &= (5-9)\sqrt{2} + (8-8)\sqrt{5} = -4\sqrt{2}\,\textrm{.} \end{align}

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