Lösung 2.3:10b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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The inequality
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Die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> definiert das Gebiet unter der Parabel
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<math>y\le \text{1}-x^{\text{2}}</math>
+
<math>y=1-x^{2}</math>. Die andere Ungleichung <math>x\ge 2y-3</math> können wir wie <math>y\le x/2+3/2</math> schreiben und daher definiert sie das Gebiet unter der Gerade <math>y=x/2+3/2</math>.
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defines the area under and on the curve
+
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<math>y=\text{1}-x^{\text{2}}</math>, which is a parabola with a maximum at
+
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<math>\left( 0 \right.,\left. 1 \right)</math>. We can rewrite the other inequality
+
-
<math>x\ge \text{ 2}y-\text{3}</math>
+
-
as
+
-
<math>y\le \text{ }{x}/{2}\;+{3}/{2}\;</math>
+
-
and it defines the area under and on the straight line
+
-
<math>y=\text{ }{x}/{2}\;+{3}/{2}\;</math>.
+
-
[[Image:2_3_10_b1.gif|center]]
+
{| align="center"
-
Of the figures above, it seems that the region associated with the parabola lies completely under the line
+
|align="center"|{{:2.3.10b - Solution - The region y ≤ 1 - x²}}
-
<math>y=\text{ }{x}/{2}\;+{3}/{2}\;</math>
+
|width="10px"|&nbsp;
-
and this means that the area under the parabola satisfies both inequalities.
+
|align="center"|{{:2.3.10b - Solution - The region x ≤ 2y - 3}}
 +
|-
 +
|align="center"|<small>Das Gebiet y&nbsp;≤&nbsp;1&nbsp;-&nbsp;''x''²</small>
 +
||
 +
|align="center"|<small>Das Gebiet x&nbsp;≥&nbsp;2''y''&nbsp;-&nbsp;3</small>
 +
|}
-
[[Image:2_3_10_b2.gif|center]]
+
Es scheint so zu sein, als läge die Gerade ganz oberhalb der Parabel. Dies würde bedeuten, dass die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> auch die Ungleichung <math>y\le x/2+3/2</math> erfüllt.
-
NOTE: If you feel unsure about whether the parabola really does lie under the line, i.e. that it just happens to look as though it does, we can investigate if the
 
-
<math>y</math>
 
-
-values on the line
 
-
<math>y_{\text{line}}=\text{ }{x}/{2}\;+{3}/{2}\;</math>
 
-
is always larger than the corresponding
 
-
<math>y</math>
 
-
-value on the parabola
 
-
<math>y_{\text{parabola}}=\text{1}-x^{\text{2}}</math>
 
-
by studying the difference between them:
 
 +
{| align="center"
 +
|align="center"|{{:2.3.10b - Solution - The region y ≤ 1 - x² and x ≤ 2y - 3}}
 +
|-
 +
|align="center"|<small>Das Gebiet y&nbsp;≤&nbsp;1&nbsp;-&nbsp;''x''² und x&nbsp;≥&nbsp;2''y''&nbsp;-&nbsp;3</small>
 +
|}
-
<math>y_{\text{line}}-y_{\text{parabola}}=\text{ }\frac{x}{2}+\frac{3}{2}-\left( \text{1}-x^{\text{2}} \right)</math>
+
Wir kontrollieren, ob dies auch der Fall ist, nämlich ob der ''y''-Wert der Gerade immer größer als der ''y''-Wert der Parabel für denselben ''x''-Wert ist. Wir betrachten den Unterschied
 +
{{Abgesetzte Formel||
 +
<math>y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\,\textrm{.}</math>}}
-
If this difference is positive regardless of how
+
Durch ein wenig Vereinfachungen erhalten wir
-
<math>x</math>
+
-
is chosen, then we know that the line's
+
-
<math>y</math>
+
-
-value is always greater than the parabola's
+
-
<math>y</math>
+
-
-value. After a little simplification and completing the square, we have
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}}
 +
&= \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\\[5pt]
 +
&= x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\\[5pt]
 +
&= \Bigl(x+\frac{1}{4}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^{2} + \frac{1}{2}\\[5pt]
 +
&= \Bigl(x+\frac{1}{4}\Bigr)^{2} + \frac{7}{16}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Wir sehen hier, dass der Ausdruck immer positiv ist, nachdem <math>\tfrac{7}{16}</math> positiv ist und <math>\bigl(x+\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}</math> immer größer oder gleich null ist. Also liegt die Parabel ganz unterhalb der Gerade.
-
& y_{\text{line}}-y_{\text{parabola}}=\text{ }\frac{x}{2}+\frac{3}{2}-\left( \text{1}-x^{\text{2}} \right)=x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \\
+
-
& =\left( x+\frac{1}{4} \right)^{2}-\left( \frac{1}{4} \right)^{2}+\frac{1}{2}=\left( x+\frac{1}{4} \right)^{2}+\frac{7}{16} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
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and this expression is always positive because
+
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<math>\frac{7}{16}</math>
+
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is a positive number and
+
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<math>\left( x+\frac{1}{4} \right)^{2}</math>
+
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is a quadratic which is never negative. In other words, the parabola is completely under the line.
+

Aktuelle Version

Die Ungleichung \displaystyle y\le 1-x^{2} definiert das Gebiet unter der Parabel \displaystyle y=1-x^{2}. Die andere Ungleichung \displaystyle x\ge 2y-3 können wir wie \displaystyle y\le x/2+3/2 schreiben und daher definiert sie das Gebiet unter der Gerade \displaystyle y=x/2+3/2.


[Image]

 

[Image]

Das Gebiet y ≤ 1 - x² Das Gebiet x ≥ 2y - 3

Es scheint so zu sein, als läge die Gerade ganz oberhalb der Parabel. Dies würde bedeuten, dass die Ungleichung \displaystyle y\le 1-x^{2} auch die Ungleichung \displaystyle y\le x/2+3/2 erfüllt.


[Image]

Das Gebiet y ≤ 1 - x² und x ≥ 2y - 3

Wir kontrollieren, ob dies auch der Fall ist, nämlich ob der y-Wert der Gerade immer größer als der y-Wert der Parabel für denselben x-Wert ist. Wir betrachten den Unterschied

\displaystyle y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\,\textrm{.}

Durch ein wenig Vereinfachungen erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}} &= \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\\[5pt] &= x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{1}{4}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^{2} + \frac{1}{2}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{1}{4}\Bigr)^{2} + \frac{7}{16} \end{align}

Wir sehen hier, dass der Ausdruck immer positiv ist, nachdem \displaystyle \tfrac{7}{16} positiv ist und \displaystyle \bigl(x+\tfrac{1}{4}\bigr)^{2} immer größer oder gleich null ist. Also liegt die Parabel ganz unterhalb der Gerade.

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