Lösung 2.3:3f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
We can split up the first term on the left-hand side,
+
Wir faktorisieren zuerst die beiden Terme in der linken Seite der Gleichung
-
<math>x\left( x^{2}-2x \right)</math>
+
-
, into factors by taking
+
<math>x(x^{2}-2x) = x\cdot x\cdot (x-2)</math>
-
<math>x</math>
+
<br>
-
outside the bracket,
+
<math>x\cdot (2-x) = -x(x-2)</math>.
-
<math>x\left( x^{2}-2x \right)=x\centerdot x\centerdot \left( x-2 \right)</math>
+
-
and writing the other term as
+
-
<math>x\centerdot \left( 2-x \right)=-x\left( x-2 \right)</math>. From this we see that both terms contain
+
-
<math>x\left( x-2 \right)</math>
+
-
as common factors and, if we take out those, the left-hand side becomes
+
 +
Nachdem wir den gemeinsamen Faktor <math>x(x-2)</math> haben, faktorisieren wir den ganzen Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
& x\left( x^{2}-2x \right)+x\left( 2-x \right)=x^{2}\left( x-2 \right)-x\left( x-2 \right) \\
+
x(x^{2}-2x) + x(2-x)
-
& =x\left( x\left( x-2 \right)-\left( x-2 \right) \right)=x\left( x-2 \right)\left( x-1 \right). \\
+
&= x^{2}(x-2) - x(x-2)\\[5pt]
-
\end{align}</math>
+
&= x\bigl(x(x-2)-(x-2)\bigr)\\[5pt]
 +
&= x(x-2)(x-1)\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
Die Gleichung kann jetzt als
-
The whole equation can be written as
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x(x-2)(x-1) = 0</math>}}
 +
geschrieben werden. Diese Gleichung ist erfüllt, wenn einer der Faktoren <math>x</math>, <math>x-2</math> oder <math>x-1</math> null ist. Also sind die Lösungen <math>x=0</math>, <math>x=2</math> und <math>x=1</math>.
-
<math>x\left( x-2 \right)\left( x-1 \right)=0</math>
+
Nachdem es nicht ganz offensichtlich ist, ob <math>x=1</math> eine Lösung ist, kontrollieren wir, ob dies hierbei der Fall ist:
-
 
+
<math>\begin{align}
-
and this equation is satisfied only when one of the three factors
+
\text{Linke Seite}
-
<math>x</math>,
+
&= 1\cdot (1^{2}-2\cdot 1) + 1\cdot (2-1) \\[5pt]
-
<math>x-\text{2}</math>
+
&= 1\cdot (-1) + 1\cdot 1 = 0 = \text{Rechte Seite.}\end{align}</math>
-
or
+
-
<math>x-\text{1}</math>
+
-
is zero, i.e. the solutions are
+
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<math>x=0</math>,
+
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<math>x=\text{2 }</math>
+
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and
+
-
<math>x=\text{1}</math>.
+
-
 
+
-
Because it is not completely obvious that x x=1 is a solution of the equation, we check that x=1 satisfies the equation, i.e. that we haven't calculated incorrectly:
+
-
 
+
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x=1: LHS
+
-
<math>=1\centerdot \left( 1^{2}-2\centerdot 1 \right)+1\centerdot \left( 2-1 \right)=1\centerdot \left( -1 \right)+1\centerdot 1=0=</math>
+
-
RHS
+

Aktuelle Version

Wir faktorisieren zuerst die beiden Terme in der linken Seite der Gleichung

\displaystyle x(x^{2}-2x) = x\cdot x\cdot (x-2)
\displaystyle x\cdot (2-x) = -x(x-2).

Nachdem wir den gemeinsamen Faktor \displaystyle x(x-2) haben, faktorisieren wir den ganzen Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung

\displaystyle \begin{align}

x(x^{2}-2x) + x(2-x) &= x^{2}(x-2) - x(x-2)\\[5pt] &= x\bigl(x(x-2)-(x-2)\bigr)\\[5pt] &= x(x-2)(x-1)\,\textrm{.} \end{align}

Die Gleichung kann jetzt als

\displaystyle x(x-2)(x-1) = 0

geschrieben werden. Diese Gleichung ist erfüllt, wenn einer der Faktoren \displaystyle x, \displaystyle x-2 oder \displaystyle x-1 null ist. Also sind die Lösungen \displaystyle x=0, \displaystyle x=2 und \displaystyle x=1.

Nachdem es nicht ganz offensichtlich ist, ob \displaystyle x=1 eine Lösung ist, kontrollieren wir, ob dies hierbei der Fall ist:

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Seite} &= 1\cdot (1^{2}-2\cdot 1) + 1\cdot (2-1) \\[5pt] &= 1\cdot (-1) + 1\cdot 1 = 0 = \text{Rechte Seite.}\end{align}

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