Lösung 1.1:7b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K (decimal comma --> decimal point)
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A rational number always has a decimal expansion which, after a certain decimal place, repeats itself periodically.
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Eine rationale Zahl hat ab einer bestimmten Dezimale eine periodische Dezimalbruchentwicklung.
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In our case, the sequence 1416 is repeated indefinitely
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In diesem Fall ist die periodische Dezimalbruchentwicklung 1416.
<center><math>3\textrm{.}\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math></center>
<center><math>3\textrm{.}\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math></center>
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In other words, the number is rational.
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Also ist unsere Zahl rational.
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The next problem is to rewrite the number as a fraction, for which we use the fact that multiplication by 10 moves the decimal point one place to the right.
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Jetzt müssen wir die Zahl nur noch als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben.
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If we write
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Wenn wir unsere Zahl als x benennen haben wir
::<math>\insteadof[right]{10000x}{x}{} = 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math>
::<math>\insteadof[right]{10000x}{x}{} = 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math>
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then
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und
::<math>\insteadof[right]{10000x}{10x}{} = 31\,\textrm{.}\,4161\ 4161\ 4161\,\ldots</math>
::<math>\insteadof[right]{10000x}{10x}{} = 31\,\textrm{.}\,4161\ 4161\ 4161\,\ldots</math>
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::<math>\insteadof[right]{10000x}{10000x}{} = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ 1\,\ldots</math>
::<math>\insteadof[right]{10000x}{10000x}{} = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ 1\,\ldots</math>
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Note that, in 10000''x'' we have moved the decimal point sufficiently many places so that the decimal expansion of 10000''x'' is in phase with the decimal expansion of ''x'', i.e. they have the same
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Jetzt sieht man, dass 10000''x'' nach dem Komma dieselbe Dezimalbruchentwicklung wie ''x'' hat.
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decimal expansion.
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Therefore,
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Also,
::<math>10000x-x = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots - 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math>
::<math>10000x-x = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots - 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math>
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::<math>\phantom{10000x-x}{}= 31413\quad</math>(The decimal parts cancel out each other)
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::<math>\phantom{10000x-x}{}= 31413\quad</math>(die Nachkommastellen verschwinden)
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and as <math>10000x-x = 9999x</math> we get that
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und nachdem <math>10000x-x = 9999x</math> haben wir
::<math>9999x = 31413\,\mbox{.}</math>
::<math>9999x = 31413\,\mbox{.}</math>
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Solving for ''x'' in this relationship we find ''x'' as a quotient between two integers
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Wenn wir beide seiten mit 9999 dividieren, sehen wir, dass
::<math>x = \frac{31413}{9999}\quad\biggl({}= \frac{10471}{3333}\biggr)\,\mbox{.}</math>
::<math>x = \frac{31413}{9999}\quad\biggl({}= \frac{10471}{3333}\biggr)\,\mbox{.}</math>
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Aktuelle Version

Eine rationale Zahl hat ab einer bestimmten Dezimale eine periodische Dezimalbruchentwicklung.

In diesem Fall ist die periodische Dezimalbruchentwicklung 1416.

\displaystyle 3\textrm{.}\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots

Also ist unsere Zahl rational.

Jetzt müssen wir die Zahl nur noch als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben.

Wenn wir unsere Zahl als x benennen haben wir

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{x}{} = 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots

und

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10x}{} = 31\,\textrm{.}\,4161\ 4161\ 4161\,\ldots
\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{100x}{} = 314\,\textrm{.}\,1614\ 1614\ 161\,\ldots
\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{1000x}{} = 3141\,\textrm{.}\,6141\ 6141\ 61\,\ldots
\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10000x}{} = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ 1\,\ldots

Jetzt sieht man, dass 10000x nach dem Komma dieselbe Dezimalbruchentwicklung wie x hat.

Also,

\displaystyle 10000x-x = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots - 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots
\displaystyle \phantom{10000x-x}{}= 31413\quad(die Nachkommastellen verschwinden)

und nachdem \displaystyle 10000x-x = 9999x haben wir

\displaystyle 9999x = 31413\,\mbox{.}

Wenn wir beide seiten mit 9999 dividieren, sehen wir, dass

\displaystyle x = \frac{31413}{9999}\quad\biggl({}= \frac{10471}{3333}\biggr)\,\mbox{.}
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