Lösung 2.2:6e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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The lines have a point of intersection at that point which simultaneously satisfies the equations of both lines:
+
Der Schnittpunkt der Geraden muss die Gleichungen beider Geraden erfüllen, also
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{{Abgesetzte Formel||<math>2x+y-1=0\qquad\text{und}\qquad y-2x-2=0\,\textrm{.}</math>}}
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<math>2x+y-1=0</math>
+
Wenn wir von der ersten Gleichung <math>y</math> mit <math>2x+2</math> ersetzen, bekommen wir eine Gleichung mit nur <math>x</math>
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and
+
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<math>y-2x-2=0</math>.
+
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If we make
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2x+(2x+2)-1=0\quad\Leftrightarrow\quad 4x+1=0\,,</math>}}
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<math>y</math>
+
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the subject of the second equation
+
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<math>y-2x-2=0</math>
+
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and substitute it into the first equation, we obtain an equation which only contains
+
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<math>x</math>,
+
 +
Wir erhalten <math>x=-1/4\,</math>, und die erste Gleichung, <math>y=2x+2</math>, gibt uns <math>y = 2\cdot(-1/4)+2 = 3/2\,</math>.
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<math>2x+\left( 2x+2 \right)-1=0\ \Leftrightarrow \ 4x+1=0</math>
+
Also ist der Schnittpunkt <math>\bigl(-\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{2}\bigr)</math>.
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which gives that
+
<center>{{:2.2.6e - Solution - The lines 2x + y -1 = 0 and y - 2x - 2 = 0 through the point (-1/4,3/2)}}</center>
-
<math>x=-{1}/{4}\;</math>. Then, from the relation
+
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<math>y=2x+2</math>, we obtain
+
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<math>y=2\left( -{1}/{4}\; \right)+2={3}/{2}\;</math>.
+
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The point of intersection is
+
Wir kontrollieren zur Sicherheit, dass der Punkt <math>\bigl(-\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{2}\bigr)</math> auch wirklich beide Gleichungen erfüllt
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<math>\left( -\frac{1}{4} \right.,\left. \frac{3}{2} \right)</math>.
+
-
We check for safety's sake that
+
:*2''x''&nbsp;+&nbsp;''y''&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0: <math>\quad\textrm{Linke Seite} = 2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr) + \tfrac{3}{2} - 1 = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2} - \tfrac{2}{2} = 0 = \textrm{Rechte Seite.}</math>
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<math>\left( -\frac{1}{4} \right.,\left. \frac{3}{2} \right)</math>
+
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really satisfies both equations:
+
-
 
+
:*''y''&nbsp;-&nbsp;2''x''&nbsp;-&nbsp;2&nbsp;=&nbsp;0: <math>\quad\textrm{Linke Seite} = \tfrac{3}{2}-2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)-2 = \tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{2} - \tfrac{4}{2} = 0 = \textrm{Rechte Seite.}</math>
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{{NAVCONTENT_START}}
+
-
 
+
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{{NAVCONTENT_STOP}}
+
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[[Image:2_2_6_e.gif|center]]
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We check for safety's sake that
+
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<math>\left( -\frac{1}{4} \right.,\left. \frac{3}{2} \right)</math>
+
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really satisfies both equations:
+
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+
-
 
+
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<math>2x+y-1=0</math>:
+
-
LHS =
+
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<math>2\left( -\frac{1}{4} \right)+\frac{3}{2}-1=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-\frac{2}{2}=0</math> =RHS
+
-
 
+
-
<math>y-2x-2=0</math>:
+
-
LHS =
+
-
<math>\frac{3}{2}-2\left( -\frac{1}{4} \right)-2=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-\frac{4}{2}=0</math> =RHS
+

Aktuelle Version

Der Schnittpunkt der Geraden muss die Gleichungen beider Geraden erfüllen, also

\displaystyle 2x+y-1=0\qquad\text{und}\qquad y-2x-2=0\,\textrm{.}

Wenn wir von der ersten Gleichung \displaystyle y mit \displaystyle 2x+2 ersetzen, bekommen wir eine Gleichung mit nur \displaystyle x

\displaystyle 2x+(2x+2)-1=0\quad\Leftrightarrow\quad 4x+1=0\,,

Wir erhalten \displaystyle x=-1/4\,, und die erste Gleichung, \displaystyle y=2x+2, gibt uns \displaystyle y = 2\cdot(-1/4)+2 = 3/2\,.

Also ist der Schnittpunkt \displaystyle \bigl(-\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{2}\bigr).


[Image]

Wir kontrollieren zur Sicherheit, dass der Punkt \displaystyle \bigl(-\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{2}\bigr) auch wirklich beide Gleichungen erfüllt

  • 2x + y - 1 = 0: \displaystyle \quad\textrm{Linke Seite} = 2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr) + \tfrac{3}{2} - 1 = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2} - \tfrac{2}{2} = 0 = \textrm{Rechte Seite.}
  • y - 2x - 2 = 0: \displaystyle \quad\textrm{Linke Seite} = \tfrac{3}{2}-2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)-2 = \tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{2} - \tfrac{4}{2} = 0 = \textrm{Rechte Seite.}
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