Lösung 2.2:3a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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We multiply the top and bottom of the terms on the left-hand side by appropriate factors so that they have the same common denominator, in the following way:
+
Zuerst erweitern wir beide Brüche, sodass sie einen gemeinsamen Nenner bekommen
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x+3}{x-3}\cdot \frac{x-2}{x-2}-\frac{x+5}{x-2}\cdot \frac{x-3}{x-3}=0\,\textrm{.}</math>}}
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<math>\frac{x+3}{x-3}\centerdot \frac{x-2}{x-2}-\frac{x+5}{x-2}\centerdot \frac{x-3}{x-3}=0</math>
+
Jetzt subtrahieren wir den zweiten Zähler von dem ersten
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+3)(x-2)-(x+5)(x-3 )}{(x-2)(x-3)}=0\,\textrm{.}</math>}}
-
Now, the numerators can be subtracted:
+
Jetzt erweitern wir die Klammern im Zähler
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^{2}-2x+3x-6-(x^{2}-3x+5x-15)}{(x-2)(x-3)}=0</math>}}
-
<math>\frac{\left( x+3 \right)\left( x-2 \right)-\left( x+5 \right)\left( x-3 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}=0</math>
+
und vereinfachen ein wenig
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{-x+9}{(x-2)(x-3)}=0\,\textrm{.}</math>}}
-
Expand the brackets in the numerator
 
 +
Die linke Seite ist nur null, wenn der Zähler null ist (und der Nenner nicht null ist). So lösen wir folgende Gleichung:
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<math>\frac{x^{2}-2x+3x-6-\left( x^{2}-3x+5x-15 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}=0</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-x+9=0\,</math>,}}
 +
Also <math>x=9</math>.
-
and simplify
+
Indem wir <math>x=9</math> in der ursprünglichen Gleichung substituieren, kontrollieren wir, ob die Lösung korrekt ist.
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Linke Seite}=\frac{9+3}{9-3}-\frac{9+5}{9-2}=\frac{12}{6}-\frac{14}{7}=2-2=0=\text{Rechte Seite.}</math>}}
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<math>\frac{-x+9}{\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}=0</math>
+
-
 
+
-
 
+
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The left-hand side will be zero only when its numerator is zero (provided the denominator is not also zero), which gives us that the equation's solutions are given by the solutions to
+
-
 
+
-
 
+
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<math>-x+9=0</math>
+
-
 
+
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i.e.
+
-
<math>x=9</math>.
+
-
 
+
-
Substituting
+
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<math>x=9</math>
+
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into the original equation shows that we have calculated correctly:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\text{LHS}=\frac{9+3}{9-3}-\frac{9+5}{9-2}=\frac{12}{6}-\frac{14}{7}=2-2=0=\text{RHS}</math>
+

Aktuelle Version

Zuerst erweitern wir beide Brüche, sodass sie einen gemeinsamen Nenner bekommen

\displaystyle \frac{x+3}{x-3}\cdot \frac{x-2}{x-2}-\frac{x+5}{x-2}\cdot \frac{x-3}{x-3}=0\,\textrm{.}

Jetzt subtrahieren wir den zweiten Zähler von dem ersten

\displaystyle \frac{(x+3)(x-2)-(x+5)(x-3 )}{(x-2)(x-3)}=0\,\textrm{.}

Jetzt erweitern wir die Klammern im Zähler

\displaystyle \frac{x^{2}-2x+3x-6-(x^{2}-3x+5x-15)}{(x-2)(x-3)}=0

und vereinfachen ein wenig

\displaystyle \frac{-x+9}{(x-2)(x-3)}=0\,\textrm{.}


Die linke Seite ist nur null, wenn der Zähler null ist (und der Nenner nicht null ist). So lösen wir folgende Gleichung:

\displaystyle -x+9=0\,,

Also \displaystyle x=9.

Indem wir \displaystyle x=9 in der ursprünglichen Gleichung substituieren, kontrollieren wir, ob die Lösung korrekt ist.

\displaystyle \text{Linke Seite}=\frac{9+3}{9-3}-\frac{9+5}{9-2}=\frac{12}{6}-\frac{14}{7}=2-2=0=\text{Rechte Seite.}
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