Lösung 2.1:6b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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The lowest common denominator for the three terms is
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Der kleinste gemeinsamer Nenner der beiden Brüche ist <math>(x-2)(x+3)</math>. Wir schreiben jetzt die beiden Brüche mit gemeinsamen Nenner
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<math>\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)</math>
+
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and we expand each term so that all terms have the same denominator:
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 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{x}{x-2}+\frac{x}{x+3}-2
 +
&= \frac{x}{x-2}\cdot\frac{x+3}{x+3} + \frac{x}{x+3}\cdot\frac{x-2}{x-2} - 2\cdot\frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+3)}\\[5pt]
 +
&= \frac{x(x+3)+x(x-2)-2(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+3)}\\[5pt]
 +
&= \frac{x^{2}+3x+x^{2}-2x-2(x^{2}+3x-2x-6)}{(x-2)(x+3)}\\[5pt]
 +
&= \frac{x^{2}+3x+x^{2}-2x-2x^{2}-6x+4x+12}{(x-2)(x+3)}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Jetzt addieren wir die Terme im Zähler
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& \frac{x}{x-2}+\frac{x}{x+3}-2=\frac{x}{x-2}\centerdot \frac{x+3}{x+3}+\frac{x}{x+3}\centerdot \frac{x-2}{x-2}-2\centerdot \frac{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)} \\
+
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& =\frac{x\left( x+3 \right)+x\left( x-2 \right)-2\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)} \\
+
-
& =\frac{x^{2}+3x+x^{2}-2x-2\left( x^{2}+3x-2x-6 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)} \\
+
-
& =\frac{x^{2}+3x+x^{2}-2x-2x^{2}-6x+4x+12}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)} \\
+
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\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{x}{x-2}+\frac{x}{x+3}-2 &= \frac{(x^{2}+x^{2}-2x^{2})+(3x-2x-6x+4x)+12}{(x-2)(x+3)}\\[5pt]
 +
&= \frac{-x+12}{(x-2)(x+3)}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
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Now, collect together the terms in the numerator:
+
Hinweis: Da wir den Nenner nie ausmultipliziert haben, sehen wir jetzt direkt, dass der Bruch nicht weiter gekürzt werden kann.
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<math>\begin{align}
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& \frac{x}{x-2}+\frac{x}{x+3}-2=\frac{\left( x^{2}+x^{2}-2x^{2} \right)+\left( 3x-2x-6x+4x \right)+12}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)} \\
+
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& =\frac{-x+12}{\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)} \\
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\end{align}</math>
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+
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NOTE: By keeping the denominator factorized during the entire calculation, we can see at the end that the answer cannot be simplified any further.
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Aktuelle Version

Der kleinste gemeinsamer Nenner der beiden Brüche ist \displaystyle (x-2)(x+3). Wir schreiben jetzt die beiden Brüche mit gemeinsamen Nenner

\displaystyle \begin{align}

\frac{x}{x-2}+\frac{x}{x+3}-2 &= \frac{x}{x-2}\cdot\frac{x+3}{x+3} + \frac{x}{x+3}\cdot\frac{x-2}{x-2} - 2\cdot\frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+3)}\\[5pt] &= \frac{x(x+3)+x(x-2)-2(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+3)}\\[5pt] &= \frac{x^{2}+3x+x^{2}-2x-2(x^{2}+3x-2x-6)}{(x-2)(x+3)}\\[5pt] &= \frac{x^{2}+3x+x^{2}-2x-2x^{2}-6x+4x+12}{(x-2)(x+3)}\,\textrm{.} \end{align}

Jetzt addieren wir die Terme im Zähler

\displaystyle \begin{align}

\frac{x}{x-2}+\frac{x}{x+3}-2 &= \frac{(x^{2}+x^{2}-2x^{2})+(3x-2x-6x+4x)+12}{(x-2)(x+3)}\\[5pt] &= \frac{-x+12}{(x-2)(x+3)}\,\textrm{.} \end{align}

Hinweis: Da wir den Nenner nie ausmultipliziert haben, sehen wir jetzt direkt, dass der Bruch nicht weiter gekürzt werden kann.

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