Lösung 2.1:5b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (22:26, 8. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 5 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
We can factorize the denominators as
+
Wir faktorisieren die beiden Nenner
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
y^{2}-2y &= y(y-2)\\
 +
y^{2}-4 &= (y-2)(y+2)
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>y^{2}-2y=y\left( y-2 \right)</math>
+
und sehen, dass der kleinste gemeinsamer Nenner <math>y(y-2)(y+2)</math> ist.
 +
Jetzt erweitern wir die beiden Brüche, sodass sie denselben Nenner bekommen und vereinfachen
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{1}{y^{2}-2y}-\frac{2}{y^{2}-4}
 +
&= \frac{1}{y(y-2)}\cdot\frac{y+2}{y+2}-\frac{2}{(y-2)(y+2)}\cdot\frac{y}{y}\\[5pt]
 +
&= \frac{y+2}{y(y-2)(y+2)} - \frac{2y}{(y-2)(y+2)y}\\[5pt]
 +
&= \frac{y+2-2y}{y(y-2)(y+2)}\\[5pt]
 +
&= \frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
Der Zähler kann wie <math>-y+2=-(y-2)</math> geschrieben werden und wir können den Bruch mit dem Faktor <math>y-2</math> kürzen
-
<math>y^{2}-4=\left( y-2 \right)\left( y+2 \right)</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-(y-2)}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-1}{y(y+2)} = -\frac{1}{y(y+2)}\,\textrm{.}</math>}}
-
[by the conjugate rule]
+
-
 
+
-
and then we see that the terms' lowest common denominator is
+
-
<math>y\left( y-2 \right)\left( y+2 \right)</math>
+
-
because it is the product that contains the smallest number of factors which contain both
+
-
<math>y\left( y-2 \right)</math>
+
-
and
+
-
<math>\left( y-2 \right)\left( y+2 \right)</math>
+
-
.
+
-
 
+
-
Now, we rewrite the fractions so that they have same denominators and start simplifying:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& y^{2}-4=\left( y-2 \right)\left( y+2 \right) \\
+
-
& y^{2}-2y=y\left( y-2 \right) \\
+
-
& \frac{1}{y^{2}-2y}-\frac{2}{y^{2}-4}=\frac{1}{y\left( y-2 \right)}\centerdot \frac{y+2}{y+2}-\frac{2}{\left( y-2 \right)\left( y+2 \right)}\centerdot \frac{y}{y} \\
+
-
& \\
+
-
& =\frac{y+2}{y\left( y-2 \right)\left( y+2 \right)}-\frac{2y}{\left( y-2 \right)\left( y+2 \right)y} \\
+
-
& \\
+
-
& =\frac{y+2-2y}{y\left( y-2 \right)\left( y+2 \right)}=\frac{-y+2}{y\left( y-2 \right)\left( y+2 \right)} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
The numerator can be rewritten as
+
-
<math>-y+2=-\left( y-2 \right)</math>
+
-
and we can eliminate the common factor
+
-
<math>y-2</math>
+
-
.
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\frac{-y+2}{y\left( y-2 \right)\left( y+2 \right)}=\frac{-\left( y-2 \right)}{y\left( y-2 \right)\left( y+2 \right)}=\frac{-1}{y\left( y+2 \right)}=-\frac{1}{y\left( y+2 \right)}</math>
+

Aktuelle Version

Wir faktorisieren die beiden Nenner

\displaystyle \begin{align}

y^{2}-2y &= y(y-2)\\ y^{2}-4 &= (y-2)(y+2) \end{align}

und sehen, dass der kleinste gemeinsamer Nenner \displaystyle y(y-2)(y+2) ist.

Jetzt erweitern wir die beiden Brüche, sodass sie denselben Nenner bekommen und vereinfachen

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{y^{2}-2y}-\frac{2}{y^{2}-4} &= \frac{1}{y(y-2)}\cdot\frac{y+2}{y+2}-\frac{2}{(y-2)(y+2)}\cdot\frac{y}{y}\\[5pt] &= \frac{y+2}{y(y-2)(y+2)} - \frac{2y}{(y-2)(y+2)y}\\[5pt] &= \frac{y+2-2y}{y(y-2)(y+2)}\\[5pt] &= \frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)}\,\textrm{.} \end{align}

Der Zähler kann wie \displaystyle -y+2=-(y-2) geschrieben werden und wir können den Bruch mit dem Faktor \displaystyle y-2 kürzen

\displaystyle \frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-(y-2)}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-1}{y(y+2)} = -\frac{1}{y(y+2)}\,\textrm{.}
Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.1:5b“