Lösung 2.1:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
When the expression
+
Wenn wir den Ausdruck
-
<math>\left( 1+x+x^{2}+x^{3} \right)\left( 2-x+x^{2}+x^{4} \right)</math>
+
-
is expanded out,
+
-
every term in the first bracket is multiplied by every term in the second bracket, i.e.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4})</math>}}
 +
erweitern, wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert, also
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
& \left( 1+x+x^{2}+x^{3} \right)\left( 2-x+x^{2}+x^{4} \right) \\
+
&(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4})\\[3pt]
-
& =1\centerdot 2+1\centerdot \left( -x \right)+1\centerdot x^{2}+1\centerdot x^{4}+x\centerdot 2+x\centerdot \left( -x \right) \\
+
&\qquad\quad{}=1\cdot 2+1\cdot (-x)+1\cdot x^{2}+1\cdot x^{4}+x\cdot 2+x\cdot (-x) \\
-
& +x\centerdot x^{2}+x\centerdot x^{4}+x^{2}\centerdot 2+x^{2}\centerdot \left( -x \right)+x^{2}\centerdot x^{2}+x^{2}\centerdot x^{4} \\
+
&\qquad\qquad\quad{}+x\cdot x^{2}+x\cdot x^{4}+x^{2}\cdot 2+x^{2}\cdot (-x)+x^{2}\cdot x^{2}+x^{2}\cdot x^{4} \\
-
& +x^{3}\centerdot 2+x^{3}\centerdot \left( -x \right)+x^{3}\centerdot x^{2}+x^{3}\centerdot x^{4} \\
+
&\qquad\qquad\quad{}+x^{3}\cdot 2+x^{3}\cdot (-x)+x^{3}\cdot x^{2}+x^{3}\cdot x^{4}\,\textrm{.}
-
\end{align}</math>
+
\end{align}</math>}}
 +
Falls wir wie in diesem Fall nur den ''x''-Koeffizienten wissen wollen, genügt es wenn wir die Terme, die multipliziert einen ''x''-Term ergeben, multiplizieren. In diesem Fall entspricht das 1 mal -''x'' und ''x'' mal 2,
-
If we only want to know the coefficient in front of
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot (-x) + x\cdot 2 + \cdots</math>}}
-
<math>x</math>, we do not need to carry out the complete expansion of the expression; it is sufficient to find those combinations of a term from the first bracket and a term from the second bracket which, when multiplied, give an
+
-
<math>x^{1}</math>
+
-
-term. In this case, we have two such pairs:
+
-
<math>1</math>
+
-
multiplied by -
+
-
<math>x</math>
+
-
and
+
-
<math>x</math>
+
-
multiplied by
+
-
<math>2</math>
+
-
,
+
 +
und also ist der Koeffizient von ''x'' : <math>-1+2=1\,</math>.
-
<math>\begin{align}
+
Den Koeffizienten von den <math>x^2</math>-Term finden wir, indem wir alle Terme, die multipliziert einen <math>x^2</math>-Term ergeben multiplizieren, also
-
& \left( 1+x+x^{2}+x^{3} \right)\left( 2-x+x^{2}+x^{4} \right)=...+1\centerdot \left( -x \right)+x\centerdot 2+... \\
+
-
& \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot x^{2} + x\cdot(-x) + x^{2}\cdot 2 + \cdots</math>}}
-
so that the coefficient in front of
+
Der Koeffizient von <math>x^2</math> ist also <math>1-1+2=2\,</math>.
-
<math>x</math>
+
-
is
+
-
<math>-1+2=1</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
We obtain the coefficient in front of
+
-
<math>x^{2}</math>
+
-
by finding those combinations of a term from each bracket
+
-
which give an
+
-
<math>x^{2}</math>
+
-
-term; these are
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left( 1+x+x^{2}+x^{3} \right)\left( 2-x+x^{2}+x^{4} \right)=...+1\centerdot x^{2}+x\centerdot \left( -x \right)+x^{2}\centerdot 2+...</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
The coefficient in front of
+
-
<math>x^{2}</math>
+
-
is
+
-
<math>1-1+2</math>
+
-
.
+

Aktuelle Version

Wenn wir den Ausdruck

\displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4})

erweitern, wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert, also

\displaystyle \begin{align}

&(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4})\\[3pt] &\qquad\quad{}=1\cdot 2+1\cdot (-x)+1\cdot x^{2}+1\cdot x^{4}+x\cdot 2+x\cdot (-x) \\ &\qquad\qquad\quad{}+x\cdot x^{2}+x\cdot x^{4}+x^{2}\cdot 2+x^{2}\cdot (-x)+x^{2}\cdot x^{2}+x^{2}\cdot x^{4} \\ &\qquad\qquad\quad{}+x^{3}\cdot 2+x^{3}\cdot (-x)+x^{3}\cdot x^{2}+x^{3}\cdot x^{4}\,\textrm{.} \end{align}

Falls wir wie in diesem Fall nur den x-Koeffizienten wissen wollen, genügt es wenn wir die Terme, die multipliziert einen x-Term ergeben, multiplizieren. In diesem Fall entspricht das 1 mal -x und x mal 2,

\displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot (-x) + x\cdot 2 + \cdots

und also ist der Koeffizient von x : \displaystyle -1+2=1\,.

Den Koeffizienten von den \displaystyle x^2-Term finden wir, indem wir alle Terme, die multipliziert einen \displaystyle x^2-Term ergeben multiplizieren, also

\displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot x^{2} + x\cdot(-x) + x^{2}\cdot 2 + \cdots

Der Koeffizient von \displaystyle x^2 ist also \displaystyle 1-1+2=2\,.

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