Lösung 1.3:5f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
The whole expression is quite complicated, so it can be useful to simplify the terms
+
Der ganze Ausdruck ist relativ umständlich zu berechnen. Daher berechnen wir die Faktoren <math>\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}</math> und <math>\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2}</math> je für sich
-
<math>\left( 125^{\frac{1}{3}} \right)^{2}</math>
+
-
and
+
-
<math>\left( 27^{\frac{1}{3}} \right)^{-2}</math>
+
-
first:
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2} &= 125^{\frac{1}{3}\cdot 2} = 125^{\frac{2}{3}}\,,\\[5pt]
 +
\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2} &= 27^{\frac{1}{3}\cdot (-2)} = 27^{-\frac{2}{3}}\,\textrm{.}\end{align}</math>}}
-
<math>\left( 125^{\frac{1}{3}} \right)^{2}=125^{\frac{1}{3}\centerdot 2}=125^{\frac{2}{3}}</math>
+
Danach schreiben wir 27 und 9 als Potenzen mit der Basis 3 und 125 als Potenz mit der Basis 5:
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
27 &= 3\cdot 9 = 3\cdot 3\cdot 3 = 3^{3},\\
 +
9 &= 3\cdot 3 = 3^{2},\\
 +
125 &= 5\cdot 25 = 5\cdot 5\cdot 5 = 5^{3} \textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
Und zuletzt vereinfachen wir den Ausdruck mit den Rechenregeln für Potenzen
-
<math>\left( 27^{\frac{1}{3}} \right)^{-2}=27^{\frac{1}{3}\centerdot \left( -2 \right)}=27^{-\frac{2}{3}}</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
 
+
\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}\cdot\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2}\cdot 9^{\frac{1}{2}} &= 125^{\frac{2}{3}}\cdot 27^{-\frac{2}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{2}}\\[5pt]
-
 
+
&= \bigl(5^{3}\bigr)^{\frac{2}{3}}\cdot \bigl(3^{3}\bigr)^{-\frac{2}{3}}\cdot \bigl(3^{2}\bigr)^{\frac{1}{2}}\\[5pt]
-
Then, the bases
+
&= 5^{3\cdot\frac{2}{3}}\cdot 3^{3\cdot (-\frac{2}{3})}\cdot 3^{2\cdot\frac{1}{2}}\\[5pt]
-
<math>125,\ \ 27</math>
+
&= 5^{2}\cdot 3^{-2}\cdot 3^{1}\\[5pt]
-
and
+
&= 5^{2}\cdot 3^{-2+1}\\[5pt]
-
<math>9</math>
+
&= 5^{2}\cdot 3^{-1}\\[5pt]
-
can be rewritten as
+
&= 5\cdot 5\cdot \frac{1}{3}\\[5pt]
-
 
+
&= \frac{25}{3}\,\textrm{.}
-
 
+
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
-
& 125=5\centerdot 25=5\centerdot 5\centerdot 5=5^{3} \\
+
-
& \\
+
-
& 27=3\centerdot 9=3\centerdot 3\centerdot 3=3^{3} \\
+
-
& \\
+
-
& 9=3\centerdot 3=3^{2} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
With the help of the power rules,
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \left( 125^{\frac{1}{3}} \right)^{2}\centerdot \left( 27^{\frac{1}{3}} \right)^{-2}\centerdot 9^{\frac{1}{2}}=125^{\frac{2}{3}}\centerdot 27^{-\frac{2}{3}}\centerdot 9^{\frac{1}{2}} \\
+
-
& \\
+
-
& =\left( 5^{3} \right)^{\frac{2}{3}}\centerdot \left( 3^{3} \right)^{-\frac{2}{3}}\centerdot \left( 3^{2} \right)^{\frac{1}{2}}=5^{3\centerdot \frac{2}{3}}\centerdot 3^{3\centerdot \left( -\frac{2}{3} \right)}\centerdot 3^{2\centerdot \frac{1}{2}} \\
+
-
& \\
+
-
& =5^{2}\centerdot 3^{-2}\centerdot 3^{1}=5^{2}\centerdot 3^{-2+1}=5^{2}\centerdot 3^{-1}=5\centerdot 5\centerdot \frac{1}{3} \\
+
-
& \\
+
-
& \frac{25}{3} \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Der ganze Ausdruck ist relativ umständlich zu berechnen. Daher berechnen wir die Faktoren \displaystyle \bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2} und \displaystyle \bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2} je für sich

\displaystyle \begin{align}

\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2} &= 125^{\frac{1}{3}\cdot 2} = 125^{\frac{2}{3}}\,,\\[5pt] \bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2} &= 27^{\frac{1}{3}\cdot (-2)} = 27^{-\frac{2}{3}}\,\textrm{.}\end{align}

Danach schreiben wir 27 und 9 als Potenzen mit der Basis 3 und 125 als Potenz mit der Basis 5:

\displaystyle \begin{align}

27 &= 3\cdot 9 = 3\cdot 3\cdot 3 = 3^{3},\\ 9 &= 3\cdot 3 = 3^{2},\\ 125 &= 5\cdot 25 = 5\cdot 5\cdot 5 = 5^{3} \textrm{.} \end{align}

Und zuletzt vereinfachen wir den Ausdruck mit den Rechenregeln für Potenzen

\displaystyle \begin{align}

\bigl(125^{\frac{1}{3}}\bigr)^{2}\cdot\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^{-2}\cdot 9^{\frac{1}{2}} &= 125^{\frac{2}{3}}\cdot 27^{-\frac{2}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{2}}\\[5pt] &= \bigl(5^{3}\bigr)^{\frac{2}{3}}\cdot \bigl(3^{3}\bigr)^{-\frac{2}{3}}\cdot \bigl(3^{2}\bigr)^{\frac{1}{2}}\\[5pt] &= 5^{3\cdot\frac{2}{3}}\cdot 3^{3\cdot (-\frac{2}{3})}\cdot 3^{2\cdot\frac{1}{2}}\\[5pt] &= 5^{2}\cdot 3^{-2}\cdot 3^{1}\\[5pt] &= 5^{2}\cdot 3^{-2+1}\\[5pt] &= 5^{2}\cdot 3^{-1}\\[5pt] &= 5\cdot 5\cdot \frac{1}{3}\\[5pt] &= \frac{25}{3}\,\textrm{.} \end{align}

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