Lösung 1.3:4e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K
 
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Because
+
Nachdem <math>5^{9} = 5^{8+1} = 5^{8}\cdot 5^{1} = 5^{8}\cdot 5</math>, haben die beiden Summanden in den Klammern den gemeinsamen Faktor <math>5^{8}</math>. Wir zerlegen daher den Ausdruck in diesen Faktor
-
<math>5^{9}=5^{8+1}=5^{8}\centerdot 5^{1}=5^{8}\centerdot 5</math>,
+
-
the two terms inside the brackets have
+
-
<math>5^{8}</math>
+
-
as a common factor
+
-
and can therefore be taken outside the bracket.
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\bigl(5^{8}+5^{9}\bigr)^{-1} &= \bigl(5^{8}+5^{8}\cdot 5\bigr)^{-1} = \bigl(5^{8}\cdot (1+5)\bigr)^{-1}\\[5pt]
 +
&= \bigl(5^{8}\cdot 6\bigr)^{-1} = 5^{8\cdot (-1)}\cdot 6^{-1} = 5^{-8}\cdot 6^{-1}.
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Weiterhin ist <math>625 = 5\cdot 125 = 5\cdot 5\cdot 25 = 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 5^{4}</math>, und wir erhalten
-
& \left( 5^{8}+5^{9} \right)^{-1}=\left( 5^{8}+5^{8}\centerdot 5 \right)^{-1}=\left( 5^{8}\centerdot \left( 1+5 \right) \right)^{-1} \\
+
-
& \\
+
-
& =\left( 5^{8}\centerdot 6 \right)^{-1}=5^{8\centerdot \left( -1 \right)}\centerdot 6^{-1}=5^{-8}\centerdot 6^{-1}. \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
Furthermore,
+
-
<math>625=5\centerdot 125=5\centerdot 5\centerdot 25=5\centerdot 5\centerdot 5\centerdot 5=5^{4}</math>
+
-
and we obtain
+
-
 
+
 +
{{Abgesetzte Formel||
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
-
& 625\centerdot \left( 5^{8}+5^{9} \right)^{-1}=5^{4}\centerdot 5^{-8}\centerdot 6^{-1}=5^{4-8}\centerdot 6^{-1} \\
+
625\cdot \bigl(5^{8}+5^{9}\bigr)^{-1} &= 5^{4}\cdot 5^{-8}\cdot 6^{-1} = 5^{4-8}\cdot 6^{-1}\\[5pt]
-
& \\
+
&= 5^{-4}\cdot 6^{-1} = \frac{1}{5^{4}}\cdot \frac{1}{6}\\[5pt]
-
& =5^{-4}\centerdot 6^{-1}=\frac{1}{5^{4}}\centerdot \frac{1}{6}=\frac{1}{5^{4}\centerdot 6}=\frac{1}{5\centerdot 5\centerdot 5\centerdot 5\centerdot 6} \\
+
&= \frac{1}{5^{4}\cdot 6} = \frac{1}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 6}\\[5pt]
-
& \\
+
&= \frac{1}{3750}\,\textrm{.}
-
& =\frac{1}{3750} \\
+
\end{align}</math>}}
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Nachdem \displaystyle 5^{9} = 5^{8+1} = 5^{8}\cdot 5^{1} = 5^{8}\cdot 5, haben die beiden Summanden in den Klammern den gemeinsamen Faktor \displaystyle 5^{8}. Wir zerlegen daher den Ausdruck in diesen Faktor

\displaystyle \begin{align}

\bigl(5^{8}+5^{9}\bigr)^{-1} &= \bigl(5^{8}+5^{8}\cdot 5\bigr)^{-1} = \bigl(5^{8}\cdot (1+5)\bigr)^{-1}\\[5pt] &= \bigl(5^{8}\cdot 6\bigr)^{-1} = 5^{8\cdot (-1)}\cdot 6^{-1} = 5^{-8}\cdot 6^{-1}. \end{align}

Weiterhin ist \displaystyle 625 = 5\cdot 125 = 5\cdot 5\cdot 25 = 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 5^{4}, und wir erhalten

\displaystyle \begin{align} 625\cdot \bigl(5^{8}+5^{9}\bigr)^{-1} &= 5^{4}\cdot 5^{-8}\cdot 6^{-1} = 5^{4-8}\cdot 6^{-1}\\[5pt] &= 5^{-4}\cdot 6^{-1} = \frac{1}{5^{4}}\cdot \frac{1}{6}\\[5pt] &= \frac{1}{5^{4}\cdot 6} = \frac{1}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 6}\\[5pt] &= \frac{1}{3750}\,\textrm{.} \end{align}

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