2.2 Lineare Gleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
{{Mall:Vald flik|[[2.2 Linjära uttryck|Teori]]}}
+
{{Gewählter Tab|[[2.2 Lineare Gleichungen|Theorie]]}}
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{{Mall:Ej vald flik|[[2.2 Övningar|Övningar]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[2.2 Übungen|Übungen]]}}
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|}
|}
{{Info|
{{Info|
-
'''Innehåll:'''
+
'''Inhalt:'''
-
*Förstagradsekvationer
+
* Lineare Gleichungen
-
*Räta linjens ekvation
+
* Gleichung einer Geraden
-
*Geometriska problem
+
* Geometrische Probleme
-
*Områden som definieras av olikheter
+
* durch lineare Gleichungen definierte Gebiete
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Lärandemål:'''
+
'''Lernziele:'''
-
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
*Lösa algebraiska ekvationer som efter förenkling leder till förstagradsekvationer.
+
*Algebraische Gleichungen, die nach Vereinfachungen lineare Gleichungen ergeben, lösen.
-
*Omvandla mellan formerna ''y'' = ''kx'' + ''m'' och ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0.
+
*Gleichungen zwischen den Formen ''y'' = ''kx'' + ''m'' und ''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0. umwandeln.
-
*Skissera räta linjer utgående från ekvationen.
+
*Geraden, die durch eine lineare Gleichung definiert sind, zeichnen.
-
*Lösa geometriska problem som innehåller räta linjer.
+
* Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen.
-
*Skissera områden som ges av linjära olikheter och bestämma arean av dessa.
+
* Gebiete, die durch lineare Gleichungen definiert sind, zeichnen und die Fläche dieser Gebiete berechnen.
}}
}}
-
== Förstagradsekvationer ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
För att lösa förstagradsekvationer (även kallade linjära ekvationer) utför vi räkneoperationer på båda leden samtidigt, som successivt förenklar ekvationen och till slut gör att vi får <math>x</math> ensamt i ena ledet.
+
== A - Lineare Gleichungen ==
 +
 
 +
Um lineare Gleichungen zu lösen, führen wir systematisch arithmetische Operationen auf beiden Seiten der Gleichung aus.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
''' Beispiel 1'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Lös ekvationen <math>x+3=7</math>.<br/><br/>
+
<li>Löse die Gleichung <math>x+3=7</math>.<br/><br/>
-
Subtrahera <math>3</math> från båda led
+
Wir subtrahieren <math>3</math> von beiden Seiten
:<math>x+3-3=7-3</math>.
:<math>x+3-3=7-3</math>.
-
Vänsterledet förenklas då till <math>x</math> och vi får att
+
Die linke Seite ist danach <math>x</math>, also ist unsere Gleichung gelöst:
:<math>x=7-3=4</math>.</li>
:<math>x=7-3=4</math>.</li>
-
<li>Lös ekvationen <math>3x=6</math>. <br/><br/>
+
<li>Löse die Gleichung <math>3x=6</math>. <br/><br/>
-
Dividera båda led med <math>3</math>
+
Wir dividieren beide Seiten mit <math>3</math>
:<math>\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,</math>.
:<math>\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,</math>.
-
Efter att ha förkortat bort <math>3</math> i vänsterledet har vi att
+
Nachdem wir <math>3</math> auf der linken Seite gekürzt haben, bekommen wir die Lösung:
:<math> x=\frac{6}{3} = 2</math>.</li>
:<math> x=\frac{6}{3} = 2</math>.</li>
-
<li> Lös ekvationen <math>2x+1=5</math><br/><br/>
+
<li> Löse die Gleichung <math>2x+1=5\,\mbox{.}</math><br/><br/>
-
Först subtraherar vi båda led med <math>1</math> för att få <math>2x</math> ensamt i vänsterledet
+
Zuerst subtrahieren wir <math>1</math> von beiden Seiten, sodass <math>2x</math> alleine links steht
:<math>2x=5-1</math>.<br/>
:<math>2x=5-1</math>.<br/>
-
Sedan dividerar vi båda led med <math>2</math> och får svaret
+
Jetzt dividieren wir beide Seiten durch <math>2</math> und bekommen die Lösung:
:<math>x = \frac{4}{2} = 2</math>.</li>
:<math>x = \frac{4}{2} = 2</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
En förstagradsekvation kan skrivas på normalformen <math>ax=b</math>. Lösningen är då helt enkelt <math>x=b/a</math> (man måste anta att <math>a\not=0</math>).
+
Eine lineare Gleichung kann immer in die Normalform <math>ax=b</math> gebracht werden. Die Lösung bekommen wir einfach mit Division durch ''a'', <math>x=b/a</math> (nur wenn <math>a\not=0</math>).
-
De eventuella svårigheter som kan uppstå när man läser en förstagradsekvation gäller alltså inte själva lösningsformeln utan snarare de förenklingar som kan behövas för att komma till normalformen. Här nedan visas några exempel som har det gemensamt att en ekvation förenklas till linjär normalform och därmed får en unik lösning.
+
 +
Die Schwierigkeit in der Lösung von linearen Gleichungen liegt also nicht in der direkten Lösung, sondern in den Vereinfachungen, die notwendig sind, um die Gleichung in die Standardform zu bringen. Hier zeigen wir einige Beispiele von linearen Gleichungen, die alle in die Standardform gebracht werden, wobei wir die Lösung einfach erhalten.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
'''Beispiel 2'''
-
Lös ekvationen <math>\,2x-3=5x+7</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\,2x-3=5x+7</math>.
-
Eftersom <math>x</math> förekommer både i vänster- och högerledet subtraherar vi <math>2x</math> från båda led
+
Nachdem <math>x</math> links und rechts erscheint, subtrahieren wir von beiden Seiten der Gleichung <math>2x</math>
-
{{Fristående formel||<math>2x-3-2x=5x+7-2x</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2x-3-2x=5x+7-2x</math>}}
-
och får <math>x</math> samlat i högerledet
+
und jetzt kommt <math>x</math> nur in der rechten Seite vor
-
{{Fristående formel||<math>-3 = 3x+7 \; \mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-3 = 3x+7 \; \mbox{.}</math>}}
-
Nu subtraherar vi 7 från båda led
+
Jetzt subtrahieren wir 7 von beiden Seiten der Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>-3 -7 = 3x +7-7</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-3 -7 = 3x +7-7</math>}}
-
och får <math>3x</math> ensamt kvar i högerledet
+
und erhalten <math>3x</math> nur auf der rechten Seite der Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>-10=3x\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-10=3x\,\mbox{.}</math>}}
-
Det sista steget är att dividera båda led med <math>3</math>
+
Im letzten Schritt dividieren wir beide Seiten durch <math>3</math>
-
{{Fristående formel||<math>\frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}</math>}}
-
och detta ger att
+
und erhalten die Lösung
-
{{Fristående formel||<math>x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
'''Beispiel 3'''
-
Lös ut <math>x</math> från ekvationen <math>ax+7=3x-b</math>.
+
Löse die Gleichung <math>ax+7=3x-b</math> nach <math> x </math> auf.
-
Genom att subtrahera båda led med <math>3x</math>
+
Indem wir <math>3x</math> von beiden Seiten subtrahieren
-
{{Fristående formel||<math>ax+7-3x=3x-b-3x</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x=3x-b-3x</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>ax+7-3x=-b</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x=\phantom{3x}{}-b\phantom{{}-3x}</math>}}
-
och sedan med <math>7</math>
+
und danach <math>7</math> von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>ax+7-3x -7=-b-7</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x -7=-b-7</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>ax-3x=-b-7</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7</math>}}
-
har vi samlat alla termer som innehåller <math>x</math> i vänsterledet och övriga termer i högerledet.
+
Jetzt sind alle Terme, die <math>x</math> enthalten, auf der linken Seite der Gleichung und alle anderen Terme auf der rechten Seite. Auf der linken Seite können wir den Faktor <math>x</math> ausklammern (Anwendung des Distributivgesetzes).
-
Eftersom termerna i vänsterledet har <math>x</math> som en gemensam faktor kan <math>x</math> brytas ut
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(a-3)x = -b-7\; \mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>(a-3)x = -b-7\; \mbox{.}</math>}}
+
Wenn wir beide Seiten durch <math>a-3</math> dividieren, erhalten wir die Lösung
-
Dividera båda led med <math>a-3</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}</math>}}
+
 
 +
Beachte hierbei, dass <math>a</math> nicht <math>3</math> sein darf, da wir sonst durch Null teilen würden.
</div>
</div>
-
Det är inte alltid uppenbart att man har att göra med en förstagradsekvation. I följande två exempel förvandlas den ursprungliga ekvationen genom förenklingar till en förstagradsekvation.
+
Man sieht nicht immer deutlich, ob eine Gleichung linear ist oder nicht. In den folgenden Beispielen sehen wir, dass Vereinfachungen eine komplizierte Gleichung in eine lineare Gleichung umwandeln können.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
''' Beispiel 4'''
-
Lös ekvationen <math>\ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2</math>.
-
 
+
Wir multiplizieren die quadratischen Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung aus.
-
Utveckla kvadratuttrycken i båda leden
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49\,\mbox{,}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>4x^2-6x+9=4x^2+28x+49\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>4x^2-6x+9=4x^2+28x+49</math>}}
+
Hier subtrahieren wir <math>4x^2</math> von beiden Seiten
-
Subtrahera <math>4x^2</math> från båda led
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>-6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}</math>}}
+
und addieren <math>6x</math> zu beiden Seiten
-
Addera <math>6x</math> till båda led
+
{{Abgesetzte Formel||<math>9 = 34x +49\; \mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>9 = 34x +49\; \mbox{.}</math>}}
+
und subtrahieren <math>49</math> von beiden Seiten
-
Subtrahera <math>49</math> från båda led
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-40=34x\; \mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>-40=34x\; \mbox{.}</math>}}
+
und schließlich dividieren wir beide Seiten durch <math>34</math>
-
Dividera båda led med <math>34</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{-40}{34}= - \frac{20}{17}\; \mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>x = \frac{-40}{34}= - \frac{20}{17}\; \mbox{.}</math>}}
+
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
''' Beispiel 5'''
-
Lös ekvationen <math>\ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}</math>.
-
Flytta över båda termerna i ena ledet
+
Wir sammeln beide Terme auf der linken Seite der Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>\frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}</math>}}
-
Förläng termerna så att de får samma nämnare
+
und schreiben die Brüche mit gemeinsamen Nennern
-
{{Fristående formel||<math>\frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0</math>}}
-
och förenkla täljaren
+
und vereinfachen den Zähler
-
{{Fristående formel||<math>\frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0\,\mbox{.}</math>}}
-
Denna ekvation är uppfylld bara när täljaren är lika med noll (samtidigt som nämnaren inte är lika med noll),
+
Diese Gleichung ist nur gültig, wenn der Zähler null ist (und der Nenner nicht gleichzeitig null ist).
-
{{Fristående formel||<math>5x+4=0</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>5x+4=0</math>}}
-
vilket ger att <math>\,x = -\frac{4}{5}</math>.
+
und wir haben <math>\,x = -\frac{4}{5}</math>.
</div>
</div>
 +
== B - Geraden ==
-
== Räta linjer ==
+
Gleichungen wie
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y = 2x+1</math>}}
-
Funktioner av typen
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y = -x+3</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>y = 2x+1</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y = \frac{1}{2} x -5 </math>}}
-
{{Fristående formel||<math>y = -x+3</math>}}
+
-
{{Fristående formel||<math>y = \frac{1}{2} x -5 </math>}}
+
-
är exempel på linjära funktioner och de kan allmänt skrivas i formen
+
sind Beispiele von linearen Gleichungen, die man wie
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>y = kx+m</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y = kx+m</math>}}
</div>
</div>
-
där <math>k</math> och <math>m</math> är konstanter.
+
schreiben kann, wobei <math>k</math> und <math>m</math> Konstanten sind.
-
Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje och konstanten <math>k</math> anger linjens lutning mot <math>x</math>-axeln och <math>m</math> anger <math>y</math>-koordinaten för den punkt där linjen skär <math>y</math>-axeln.
+
Der Funktionsgraph einer linearen Gleichung ist immer eine gerade Linie (auch Gerade genannt). Die Konstante <math>k</math> bestimmt, wie steil die Gerade im Verhältnis zur <math>x</math>-Achse ist und die Konstante <math>m</math> ist der Schnittpunkt der Geraden mit der <math>y</math>-Achse.
-
<center>{{:2.2 - Figur - Linjen y = kx + m}}</center>
+
<center>{{:2.2 - Bild - Die Gerade y = kx + m}}</center>
-
<center><small>Linjen ''y'' = ''kx'' + ''m'' har lutning ''k'' och skär ''y''-axeln i (0,''m'')</small></center>
+
<center><small>Die Gerade ''y'' = ''kx'' + ''m'' hat die Steigung ''k'' und kreuzt die ''y''-Achse im Punkt (0,''m'')</small></center>
-
+
-
Konstanten <math>k</math> kallas för linjens riktningskoefficient och innebär att en enhetsförändring i positiv <math>x</math>-led på linjen ger <math>k</math> enheters förändring i positiv <math>y</math>-led. Det gäller därmed att om
+
-
*<math>k>0\,</math> så lutar linjen uppåt
+
Die Konstante <math>k</math> wird die Steigung genannt und bedeutet, dass eine Veränderung um eine Einheit in der positiven <math>x</math>-Richtung entlang der Geraden, eine Veränderung um <math>k</math> Einheiten in der positiven <math>y</math>-Richtung ergibt. Also ist die Steigung:
-
*<math>k<0\,</math> så lutar linjen nedåt
+
*Aufwärts wenn <math>k>0</math>.
 +
*Abwärts wenn <math>k<0</math>.
-
För en horisontell linje (parallell med <math>x</math>-axeln) är <math>k=0</math> medan en vertikal linje (parallell med <math>y</math>-axeln) inte har något <math>k</math>-värde (en sådan linje kan inte skrivas i formen <math>y=kx+m</math>).
+
Eine horizontale Gerade, die parallel mit der <math>x</math>-Achse ist, hat <math>k=0</math> während eine vertikale Gerade, parallel mit der <math>y</math>-Achse nicht in der Form <math>y=kx+m</math> geschrieben werden kann (Wenn die Gerade auf der ''y''-Achse liegt, ist jeder Punkt der Gerade ein Schnittpunkt mit der ''y''-Achse, also gibt es zuviele mögliche <math>m</math>. Wenn die Gerade nicht auf der ''y''-Achse liegt, gibt es keinen reellen Schnittpunkt mit der ''y''-Achse, und darum kein <math> m </math>.).
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
''' Beispiel 6'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Skissera linjen <math>y=2x-1</math>. <br/><br/>
+
<li> Zeichne die Gerade <math>y=2x-1</math>. <br/><br/>
-
Jämför vi linjens ekvation med <math>y=kx+m</math> så ser vi att <math>k=2</math> och <math>m=-1</math>. Detta betyder att linjens riktningskoefficient är <math>2</math> och att den skär <math>y</math>-axeln i punkten <math>(0,-1)</math>. Se figuren till vänster nedan.</li>
+
Wenn wir die Gleichung mit der Standardform <math>y=kx+m</math> vergleichen, sehen wir, dass <math>k=2</math> und <math>m=-1</math>. Dies bedeutet, dass die Gerade die Steigung <math>2</math> hat und die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>(0,-1)</math> kreuzt. Siehe die Zeichnung unten links.</li>
-
<li>Skissera linjen <math>y=2-\tfrac{1}{2}x</math>.<br/><br/>
+
<li>Zeichne die Gerade <math>y=2-\tfrac{1}{2}x</math>.<br/><br/>
-
Linjens ekvation kan skrivas som <math>y= -\tfrac{1}{2}x + 2</math> och då ser vi att dess riktningskoefficient är <math>k= -\tfrac{1}{2}</math> och att <math>m=2</math>. Se figuren nedan till höger.
+
Die Gleichung kann wie <math>y= -\tfrac{1}{2}x + 2</math> geschrieben werden. Wir sehen, dass die Steigung <math>k= -\tfrac{1}{2}</math> ist, und dass <math>m=2</math>. Siehe die Zeichnung unten rechts.
</ol>
</ol>
{| align="center" padding="20px"
{| align="center" padding="20px"
-
|align="center"|{{:2.2 - Figur - Linjen y = 2x - 1}}
+
|align="center"|{{:2.2 - Bild - Die Gerade y = 2x - 1}}
|width="20px"|
|width="20px"|
-
|align="center"|{{:2.2 - Figur - Linjen y = 2 - x/2}}
+
|align="center"|{{:2.2 - Bild - Die Gerade y = 2 - x/2}}
|-
|-
-
|align="center"|<small>Linjen ''y'' = 2''x'' - 1</small>
+
|align="center"|<small>Line ''y'' = 2''x'' - 1</small>
||
||
-
|align="center"|<small>Linjen ''y'' = 2 - ''x''/2</small>
+
|align="center"|<small>Line ''y'' = 2 - ''x''/2</small>
|}
|}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 7'''
+
''' Beispiel 7'''
-
Vilken riktningskoefficient har den räta linje som går genom punkterna <math>(2,1)</math> och <math>(5,3)</math>?
+
Was ist die Steigung der Geraden, die durch die Punkte <math>(2,1)</math> und <math>(5,3)</math> geht?
-
 
+
Wenn wir die Punkte zeichnen, sehen wir, dass <math>5-2=3</math> Einheiten entlang der Geraden in der <math>x</math>-Richtung <math>3-1=2</math> Einheiten in der <math>y</math>-Richtung entsprechen. Also entspricht <math>1</math> Schritt in der <math>x</math>-Richtung <math>k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3}</math> Schritte in der <math>y</math>-Richtung. Also ist die Steigung <math>k= \frac{2}{3}</math>.
-
Ritar vi upp punkterna och linjen i ett koordinatsystem så ser vi att <math>5-2=3</math> steg i <math>x</math>-led motsvaras av <math>3-1=2</math> steg i <math>y</math>-led på linjen. Det betyder att <math>1</math> steg i <math>x</math>-led måste motsvaras av <math>k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3}</math> steg i <math>y</math>-led. Alltså är linjens riktningskoefficient <math>k= \frac{2}{3}</math>.
+
-
 
+
-
<center>{{:2.2 - Figur - Linje genom punkterna (2,1) och (5,3)}}</center>
+
</div>
</div>
-
Två räta linjer som är parallella har uppenbarligen samma riktningskoefficient. Det går också att se (t.ex. i figuren nedan) att två linjer som är vinkelräta har riktningskoefficienter <math>k_1</math> respektive <math>k_2</math> som uppfyller <math>k_2 = -\frac{1}{k_1}</math>, vilket också kan skrivas som <math>k_1 k_2 = -1</math>.
+
Zwei Geraden die parallel sind, haben dieselbe Steigung. Man kann auch zeigen, dass für zwei Geraden, die rechtwinkelig sind und die Steigungen <math>k_1</math> und <math>k_2</math> haben, dass <math>k_2 = -\frac{1}{k_1}</math>, oder anders geschrieben <math>k_1 k_2 = -1</math>.
-
<center>{{:2.2 - Figur - Riktningskoefficient för vinkelräta linjer}}</center>
+
<center>{{:2.2 - Bild - Die Steigung von rechtwinkligen Geraden}}</center>
-
Den räta linjen i figuren till vänster har riktningskoefficient <math>k</math>, dvs. <math>1</math> steg i <math>x</math>-led motsvaras av <math>k</math> steg i <math>y</math>-led. Om linjen vrids <math>90^\circ</math> motsols får vi linjen i figuren till höger, och den linjen har riktningskoefficient <math>-\frac{1}{k}</math> eftersom nu motsvaras <math>-k</math> steg i <math>x</math>-led av <math>1</math> steg i <math>y</math>-led.
+
Die Gerade in der linken Zeichnung hat die Steigung <math>k</math>, also entspricht <math>1</math> Einheit in die <math>x</math>-Richtung, <math>k</math> Einheiten in die <math>y</math>-Richtung. Falls die Gerade <math>90^\circ</math> im Uhrzeigersinn gedreht wird, haben wir die Zeichnung rechts. Wir sehen, dass die Steigung jetzt <math>-\frac{1}{k}</math> ist, nachdem <math>-k</math> Einheiten in die <math>x</math>-Richtung <math>1</math> Einheit in die <math>y</math>-Richtung entsprechen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 8'''
+
''' Beispiel 8'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Linjerna <math>y=3x-1</math> och <math>y=3x+5</math> är parallella.
+
<li> Die Geraden <math>y=3x-1</math> und <math>y=3x+5</math> sind parallel.
-
<li>Linjerna <math>y=x+1</math> och <math>y=2-x</math> är vinkelräta.
+
<li> Die Geraden <math>y=x+1</math> und <math>y=2-x</math> sind orthogonal zueinander.
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
Alla räta linjer (även den vertikala linjen) kan skrivas i den allmänna formen
+
Alle Geraden(auch die vertikalen) können generell wie
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>ax+by=c</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>ax+by=c</math>}}
</div>
</div>
-
där <math>a</math>, <math>b</math> och <math>c</math> är konstanter.
+
geschrieben werden, wobei <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> Konstanten sind.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 9'''
+
''' Beispiel 9'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Skriv linjen <math>y=5x+7</math> i formen <math>ax+by=c</math>.<br/><br/>
+
<li>Bringe die Gerade <math>y=5x+7</math> in die Form <math>ax+by=c</math>.<br/><br/>
-
Flytta över <math>x</math>-termen till vänsterledet <math>-5x+y=7</math>.</li>
+
Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiden Seiten:<math>-5x+y=7</math>.</li>
-
<li>Skriv linjen <math>2x+3y=-1</math> i formen <math>y=kx+m</math>.<br/><br/>
+
<li> Schreibe die Gerade <math>2x+3y=-1</math> auf der Form <math>y=kx+m</math>.<br/><br/>
-
Flytta över <math>x</math>-termen i högerledet <math>3y=-2x-1</math> och dela båda led med <math>3</math>
+
Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiden Seiten
-
{{Fristående formel||<math>y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
+
<br/><br/>
 +
<math>3y=-2x-1 </math>
 +
<br/><br/>
 +
und dividieren beide Seiten durch <math>3</math>
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml '''Här'''] kan du se hur linjens ekvation kan skrivas utifrån att man vet koordinaterna för två punkter på linjen.
+
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml '''Hier'''] wird gezeigt, wie die Gleichung einer Geraden aus zwei ihrer Punkte konstruiert werden kann.
-
[http://www.theducation.se/hemsida//gymnasium_komvux/webbaserade_laromedel_och_webbstod/matematik_3000/experimentera_med_den_rata_linjen/index.asp '''Här'''] kan du ändra på k och m och se hur detta påverkar linjens egenskaper.
+
== C - Flächen in einem Koordinatensystem ==
-
 
+
Man kann durch geometrische Interpretation von Ungleichungen Gebiete in einem Koordinatensystem definieren.
-
== Områden i koordinatsystem ==
+
-
 
+
-
Genom att tolka olikheter geometriskt kan de användas för att beskriva områden i planet.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 10'''
+
''' Beispiel 10'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Skissera området i <math>x,y</math>-planet som uppfyller <math>y\ge2</math>. <br/><br/>
+
<li>Zeichne das Gebiet im <math>x,y</math>-Koordinatensystem, das die Ungleichung <math>y\ge2</math> erfüllt. <br/><br/>
-
Området ges av alla punkter <math>(x,y)</math> vars <math>y</math>-koordinat är <math>2</math> eller större, dvs. alla punkter på eller ovanför linjen <math>y=2</math>.<br/>
+
Das Gebiet besteht aus allen Punkten, <math>(x,y)</math>, wo die <math>y</math>-Koordinate größer oder gleich <math>2</math> ist, also alle Punkte oberhalb der Geraden <math>y=2</math>.<br/>
-
<center>{{:2.2 - Figur - Området y ≥ 2}}</center></li>
+
<center>{{:2.2 - Bild - Das Gebiet y ≥ 2}}</center></li>
-
<li>Skissera området i <math>x,y</math>-planet som uppfyller <math>y < x</math>. <br/><br/>
+
<li>Zeichne das Gebiet im <math>x,y</math>-Koordinatensystem, dass die Ungleichung <math>y < x</math> erfüllt. <br/><br/>
-
En punkt <math>(x,y)</math> som uppfyller olikheten <math>y < x</math> har en <math>x</math>-koordinat som är större än dess <math>y</math>-koordinat. Området består alltså av alla punkter till höger om linjen <math>y=x</math>.<br/>
+
Ein Punkt <math>(x,y)</math>, der die Ungleichung <math>y < x</math> erfüllt, muss eine <math>x</math>-Koordinate haben, die größer als die <math>y</math>-Koordinate ist. Also liegt das Gebiet rechts von der Geraden <math>y=x</math>.<br/>
 +
 
 +
<center>{{:2.2 - Bild - Das Gebiet y weniger als x}}</center>
-
<center>{{:2.2 - Figur - Området y mindre än x}}</center>
 
-
Att linjen <math>y=x</math> är streckad betyder att punkterna på linjen inte tillhör det färgade området.
+
Dass die Gerade <math>y=x</math> gepunktet ist, heißt, dass sie nicht zum gefärbten Gebiet gehört.
</ol>
</ol>
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 11'''
+
''' Beispiel 11'''
-
Skissera området i <math>x,y</math>-planet som uppfyller <math>2 \le 3x+2y\le 4</math>.
+
Zeichne das Gebiet im <math>x,y</math>-Koordinatensystem, das die Ungleichung <math>2 \le 3x+2y\le 4</math> erfüllt.
 +
Die doppelte Ungleichung kann in zwei Ungleichungen aufgeteilt werden
-
Den dubbla olikheten kan delas upp i två olikheter
+
{{Abgesetzte Formel||<math>3x+2y \ge 2 \quad</math> und <math>\quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>3x+2y \ge 2 \quad</math> och <math>\quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}</math>}}
+
Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiten Seiten und dividieren danach beide Seiden durch <math>2</math>
-
Flyttar vi över <math>x</math>-termerna till högerledet och delar båda led med <math>2</math> får vi
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad</math> und <math>\quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad</math> och <math>\quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}</math>}}
+
Die Punkte, die die erste Ungleichung erfüllen, liegen auf oder oberhalb der Geraden <math>y = 1-\tfrac{3}{2}x</math>, während die Punkte, welche die zweite Ungleichung erfüllen auf oder unterhalb der Geraden <math>y= 2-\tfrac{3}{2}x</math> liegen.
-
De punkter som uppfyller den första olikheten ligger på och ovanför linjen <math>y \ge 1-\tfrac{3}{2}x</math> medan de punkter som uppfyller den andra olikheten ligger på eller under linjen <math>y\le 2-\tfrac{3}{2}x</math>.
+
<center>{{:2.2 - Bild - Die Gebiete 3x + 2y ≥ 2 und 3x + 2y ≤ 4}}</center>
 +
<center><small>Das linke Bild zeigt das Gebiet <math>3x+2y\ge 2</math> und das rechte Bild zeigt das Gebiet <math>3x+2y\le 4</math>.</small></center>
-
<center>{{:2.2 - Figur - Områdena 3x + 2y ≥ 2 och 3x + 2y ≤ 4}}</center>
+
Die Punkte, die beide Ungleichungen erfüllen liegen auch in beiden Gebieten.
-
<center><small>Figuren till vänster visar området <math>3x+2y\ge 2</math> och figuren till höger området <math>3x+2y\le 4</math>.</small></center>
+
-
 
+
<center>{{:2.2 - Bild - Das Gebiet 2 ≤ 3x + 2y ≤ 4}}</center>
-
Punkter som uppfyller båda olikheterna tillhör det bandformade område som de färgade områdena ovan har gemensamt.
+
<center><small>Das Bild zeigt das Gebiet <math>2\le 3x+2y\le 4</math>.</small></center>
-
 
+
-
<center>{{:2.2 - Figur - Området 2 ≤ 3x + 2y ≤ 4}}</center>
+
-
<center><small>Figuren visar området <math>2\le 3x+2y\le 4</math>.</small></center>
+
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 12'''
+
''' Beispiel 12'''
-
Om vi ritar upp linjerna <math>y=x</math>, <math>y=-x</math> och <math>y=2</math> så begränsar dessa linjer en triangel, i koordinatsystemet.
+
Die Geraden <math>y=x</math>, <math>y=-x</math> und <math>y=2</math> begrenzen ein Dreieck.
 +
<center>{{:2.2 - Bild - Das Dreieck begrenzt von y = x, y = 2 und y = -x}}</center>
-
<center>{{:2.2 - Figur - Triangel begränsad av y = x, y = 2 och y = -x}}</center>
 
-
Vi upptäcker att för att en punkt skall ligga i denna triangel så måste vi sätta en del krav på den.
+
Wir sehen, dass ein Punkt folgende Bedienungen erfüllen muss, um im Dreieck zu liegen:
-
Vi ser att dess <math>y</math>-koordinat måste vara mindre än <math>2</math>. Samtidigt ser vi att triangeln nedåt begränas av <math> y=0</math>.
+
Die <math>y</math>-Koordinate muss geringer als <math>2</math> sein. Die <math>y</math>-Koordinate muss aber auch größer als <math>0</math> sein. Also muss gelten, dass <math> 0\le y\le2</math>.
-
<math>y</math>-koordinaten måste således ligga i intervallet <math> 0\le y\le2</math>.
+
Wir sehen auch, dass alle Punkte oberhalb der Geraden <math>y=-x</math> und <math>y=x</math> liegen müssen. Dies entspricht, dass <math>-y\le x\le y</math>. Nachdem wir Begrenzungen für die <math>y</math>-Koordinate haben, wissen wir auch, dass <math>x</math> kleiner als <math>2</math> sein muss und größer als <math>-2</math>.
-
För <math>x</math>-koordinaten blir det lite mer komplicerat. Vi ser att <math>x</math>-koordinaten måste ligga ovanför linjerna <math>y=-x</math> och <math>y=x</math>. Vi ser att detta är uppfyllt då <math>-y\le x\le y</math>.
+
Die Grundseite (oder Basis) des Dreiecks ist <math>4</math> und die Höhe ist <math>2</math>.
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+
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Eftersom vi redan har begränsningar för <math>y</math>-koordinaten så ser vi att <math>x</math> inte kan vara större än <math>2</math>
+
-
och mindre än <math>-2</math> automatiskt.
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+
-
Vi ser att basen i triangeln blir <math>4</math> längdenheter och höjden <math>2</math> längdenheter.
+
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Arean av denna triangel blir alltså <math> 4\cdot 2/2=4</math> areaenheter.
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Die Fläche des Dreiecks ist daher <math> 4\cdot 2/2=4</math>.
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[2.2 Übungen|Übungen]]''' .
-
[[2.2 Övningar|Övningar]]
 
<div class="inforuta" style="width:580px;">
<div class="inforuta" style="width:580px;">
-
'''Råd för inläsning'''
+
'''Tipps fürs Lernen'''
-
'''Grund- och slutprov'''
+
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
-
Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
+
Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
-
'''Tänk på att...'''
+
'''Bedenke folgendes ... '''
-
Rita egna figurer när du löser geometriska problem och att vara noggrann när du ritar! En bra figur kan vara halva lösningen, men en dålig figur kan lura en.
+
Fertige immer eine eigene kleine Zeichnung an, wenn Du geometrische Probleme lösen willst, und zeichne genau. Mit einer guten Zeichnung ist das Problem oft schon gelöst, während eine schlechte Zeichnung irreführend sein kann.
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'''Lästips'''
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'''Nützliche Websites'''
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för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:
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[http://matmin.kevius.com/linje.html Läs mer om räta linjens ekvation i Bruno Kevius matematiska ordlista]
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-
'''Länktips'''
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-
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml Experimentera med Räta linjens ekvation]
+
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml Experimente mit Geradengleichungen (engl.)]
-
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArchimedesTriangle.shtml Experimentera med Archimedes triangel & andragradskurvor ]
+
[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArchimedesTriangle.shtml Experimente mit Archimedischen Dreiecken (engl.)]
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Lineare Gleichungen
  • Gleichung einer Geraden
  • Geometrische Probleme
  • durch lineare Gleichungen definierte Gebiete

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Algebraische Gleichungen, die nach Vereinfachungen lineare Gleichungen ergeben, lösen.
  • Gleichungen zwischen den Formen y = kx + m und ax + by + c = 0. umwandeln.
  • Geraden, die durch eine lineare Gleichung definiert sind, zeichnen.
  • Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen.
  • Gebiete, die durch lineare Gleichungen definiert sind, zeichnen und die Fläche dieser Gebiete berechnen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Lineare Gleichungen

Um lineare Gleichungen zu lösen, führen wir systematisch arithmetische Operationen auf beiden Seiten der Gleichung aus.

Beispiel 1

  1. Löse die Gleichung \displaystyle x+3=7.

    Wir subtrahieren \displaystyle 3 von beiden Seiten
    \displaystyle x+3-3=7-3.
    Die linke Seite ist danach \displaystyle x, also ist unsere Gleichung gelöst:
    \displaystyle x=7-3=4.
  2. Löse die Gleichung \displaystyle 3x=6.

    Wir dividieren beide Seiten mit \displaystyle 3
    \displaystyle \frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,.
    Nachdem wir \displaystyle 3 auf der linken Seite gekürzt haben, bekommen wir die Lösung:
    \displaystyle x=\frac{6}{3} = 2.
  3. Löse die Gleichung \displaystyle 2x+1=5\,\mbox{.}

    Zuerst subtrahieren wir \displaystyle 1 von beiden Seiten, sodass \displaystyle 2x alleine links steht
    \displaystyle 2x=5-1.
    Jetzt dividieren wir beide Seiten durch \displaystyle 2 und bekommen die Lösung:
    \displaystyle x = \frac{4}{2} = 2.

Eine lineare Gleichung kann immer in die Normalform \displaystyle ax=b gebracht werden. Die Lösung bekommen wir einfach mit Division durch a, \displaystyle x=b/a (nur wenn \displaystyle a\not=0).

Die Schwierigkeit in der Lösung von linearen Gleichungen liegt also nicht in der direkten Lösung, sondern in den Vereinfachungen, die notwendig sind, um die Gleichung in die Standardform zu bringen. Hier zeigen wir einige Beispiele von linearen Gleichungen, die alle in die Standardform gebracht werden, wobei wir die Lösung einfach erhalten.

Beispiel 2

Löse die Gleichung \displaystyle \,2x-3=5x+7.


Nachdem \displaystyle x links und rechts erscheint, subtrahieren wir von beiden Seiten der Gleichung \displaystyle 2x

\displaystyle 2x-3-2x=5x+7-2x

und jetzt kommt \displaystyle x nur in der rechten Seite vor

\displaystyle -3 = 3x+7 \; \mbox{.}

Jetzt subtrahieren wir 7 von beiden Seiten der Gleichung

\displaystyle -3 -7 = 3x +7-7

und erhalten \displaystyle 3x nur auf der rechten Seite der Gleichung

\displaystyle -10=3x\,\mbox{.}

Im letzten Schritt dividieren wir beide Seiten durch \displaystyle 3

\displaystyle \frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}

und erhalten die Lösung

\displaystyle x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}

Beispiel 3

Löse die Gleichung \displaystyle ax+7=3x-b nach \displaystyle x auf.


Indem wir \displaystyle 3x von beiden Seiten subtrahieren

\displaystyle ax+7-3x=3x-b-3x
\displaystyle ax+7-3x=\phantom{3x}{}-b\phantom{{}-3x}

und danach \displaystyle 7 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir

\displaystyle ax+7-3x -7=-b-7
\displaystyle ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7

Jetzt sind alle Terme, die \displaystyle x enthalten, auf der linken Seite der Gleichung und alle anderen Terme auf der rechten Seite. Auf der linken Seite können wir den Faktor \displaystyle x ausklammern (Anwendung des Distributivgesetzes).

\displaystyle (a-3)x = -b-7\; \mbox{.}

Wenn wir beide Seiten durch \displaystyle a-3 dividieren, erhalten wir die Lösung

\displaystyle x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}

Beachte hierbei, dass \displaystyle a nicht \displaystyle 3 sein darf, da wir sonst durch Null teilen würden.

Man sieht nicht immer deutlich, ob eine Gleichung linear ist oder nicht. In den folgenden Beispielen sehen wir, dass Vereinfachungen eine komplizierte Gleichung in eine lineare Gleichung umwandeln können.

Beispiel 4

Löse die Gleichung \displaystyle \ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2.

Wir multiplizieren die quadratischen Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung aus.

\displaystyle x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49\,\mbox{,}
\displaystyle 4x^2-6x+9=4x^2+28x+49\,\mbox{.}

Hier subtrahieren wir \displaystyle 4x^2 von beiden Seiten

\displaystyle -6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}

und addieren \displaystyle 6x zu beiden Seiten

\displaystyle 9 = 34x +49\; \mbox{.}

und subtrahieren \displaystyle 49 von beiden Seiten

\displaystyle -40=34x\; \mbox{.}

und schließlich dividieren wir beide Seiten durch \displaystyle 34

\displaystyle x = \frac{-40}{34}= - \frac{20}{17}\; \mbox{.}

Beispiel 5

Löse die Gleichung \displaystyle \ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}.


Wir sammeln beide Terme auf der linken Seite der Gleichung

\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}

und schreiben die Brüche mit gemeinsamen Nennern

\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0

und vereinfachen den Zähler

\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,
\displaystyle \frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,
\displaystyle \frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0\,\mbox{.}

Diese Gleichung ist nur gültig, wenn der Zähler null ist (und der Nenner nicht gleichzeitig null ist).

\displaystyle 5x+4=0

und wir haben \displaystyle \,x = -\frac{4}{5}.

B - Geraden

Gleichungen wie

\displaystyle y = 2x+1
\displaystyle y = -x+3
\displaystyle y = \frac{1}{2} x -5

sind Beispiele von linearen Gleichungen, die man wie

\displaystyle y = kx+m

schreiben kann, wobei \displaystyle k und \displaystyle m Konstanten sind.

Der Funktionsgraph einer linearen Gleichung ist immer eine gerade Linie (auch Gerade genannt). Die Konstante \displaystyle k bestimmt, wie steil die Gerade im Verhältnis zur \displaystyle x-Achse ist und die Konstante \displaystyle m ist der Schnittpunkt der Geraden mit der \displaystyle y-Achse.

[Image]

Die Gerade y = kx + m hat die Steigung k und kreuzt die y-Achse im Punkt (0,m)

Die Konstante \displaystyle k wird die Steigung genannt und bedeutet, dass eine Veränderung um eine Einheit in der positiven \displaystyle x-Richtung entlang der Geraden, eine Veränderung um \displaystyle k Einheiten in der positiven \displaystyle y-Richtung ergibt. Also ist die Steigung:

  • Aufwärts wenn \displaystyle k>0.
  • Abwärts wenn \displaystyle k<0.

Eine horizontale Gerade, die parallel mit der \displaystyle x-Achse ist, hat \displaystyle k=0 während eine vertikale Gerade, parallel mit der \displaystyle y-Achse nicht in der Form \displaystyle y=kx+m geschrieben werden kann (Wenn die Gerade auf der y-Achse liegt, ist jeder Punkt der Gerade ein Schnittpunkt mit der y-Achse, also gibt es zuviele mögliche \displaystyle m. Wenn die Gerade nicht auf der y-Achse liegt, gibt es keinen reellen Schnittpunkt mit der y-Achse, und darum kein \displaystyle m .).

Beispiel 6

  1. Zeichne die Gerade \displaystyle y=2x-1.

    Wenn wir die Gleichung mit der Standardform \displaystyle y=kx+m vergleichen, sehen wir, dass \displaystyle k=2 und \displaystyle m=-1. Dies bedeutet, dass die Gerade die Steigung \displaystyle 2 hat und die \displaystyle y-Achse im Punkt \displaystyle (0,-1) kreuzt. Siehe die Zeichnung unten links.
  2. Zeichne die Gerade \displaystyle y=2-\tfrac{1}{2}x.

    Die Gleichung kann wie \displaystyle y= -\tfrac{1}{2}x + 2 geschrieben werden. Wir sehen, dass die Steigung \displaystyle k= -\tfrac{1}{2} ist, und dass \displaystyle m=2. Siehe die Zeichnung unten rechts.

[Image]

[Image]

Line y = 2x - 1 Line y = 2 - x/2

Beispiel 7

Was ist die Steigung der Geraden, die durch die Punkte \displaystyle (2,1) und \displaystyle (5,3) geht?

Wenn wir die Punkte zeichnen, sehen wir, dass \displaystyle 5-2=3 Einheiten entlang der Geraden in der \displaystyle x-Richtung \displaystyle 3-1=2 Einheiten in der \displaystyle y-Richtung entsprechen. Also entspricht \displaystyle 1 Schritt in der \displaystyle x-Richtung \displaystyle k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3} Schritte in der \displaystyle y-Richtung. Also ist die Steigung \displaystyle k= \frac{2}{3}.

Zwei Geraden die parallel sind, haben dieselbe Steigung. Man kann auch zeigen, dass für zwei Geraden, die rechtwinkelig sind und die Steigungen \displaystyle k_1 und \displaystyle k_2 haben, dass \displaystyle k_2 = -\frac{1}{k_1}, oder anders geschrieben \displaystyle k_1 k_2 = -1.

[Image]

Die Gerade in der linken Zeichnung hat die Steigung \displaystyle k, also entspricht \displaystyle 1 Einheit in die \displaystyle x-Richtung, \displaystyle k Einheiten in die \displaystyle y-Richtung. Falls die Gerade \displaystyle 90^\circ im Uhrzeigersinn gedreht wird, haben wir die Zeichnung rechts. Wir sehen, dass die Steigung jetzt \displaystyle -\frac{1}{k} ist, nachdem \displaystyle -k Einheiten in die \displaystyle x-Richtung \displaystyle 1 Einheit in die \displaystyle y-Richtung entsprechen.

Beispiel 8

  1. Die Geraden \displaystyle y=3x-1 und \displaystyle y=3x+5 sind parallel.
  2. Die Geraden \displaystyle y=x+1 und \displaystyle y=2-x sind orthogonal zueinander.

Alle Geraden(auch die vertikalen) können generell wie

\displaystyle ax+by=c

geschrieben werden, wobei \displaystyle a, \displaystyle b und \displaystyle c Konstanten sind.

Beispiel 9

  1. Bringe die Gerade \displaystyle y=5x+7 in die Form \displaystyle ax+by=c.

    Wir subtrahieren den \displaystyle x-Term von beiden Seiten:\displaystyle -5x+y=7.
  2. Schreibe die Gerade \displaystyle 2x+3y=-1 auf der Form \displaystyle y=kx+m.

    Wir subtrahieren den \displaystyle x-Term von beiden Seiten

    \displaystyle 3y=-2x-1

    und dividieren beide Seiten durch \displaystyle 3
    \displaystyle y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}

Hier wird gezeigt, wie die Gleichung einer Geraden aus zwei ihrer Punkte konstruiert werden kann.

C - Flächen in einem Koordinatensystem

Man kann durch geometrische Interpretation von Ungleichungen Gebiete in einem Koordinatensystem definieren.

Beispiel 10

  1. Zeichne das Gebiet im \displaystyle x,y-Koordinatensystem, das die Ungleichung \displaystyle y\ge2 erfüllt.

    Das Gebiet besteht aus allen Punkten, \displaystyle (x,y), wo die \displaystyle y-Koordinate größer oder gleich \displaystyle 2 ist, also alle Punkte oberhalb der Geraden \displaystyle y=2.

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  2. Zeichne das Gebiet im \displaystyle x,y-Koordinatensystem, dass die Ungleichung \displaystyle y < x erfüllt.

    Ein Punkt \displaystyle (x,y), der die Ungleichung \displaystyle y < x erfüllt, muss eine \displaystyle x-Koordinate haben, die größer als die \displaystyle y-Koordinate ist. Also liegt das Gebiet rechts von der Geraden \displaystyle y=x.

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    Dass die Gerade \displaystyle y=x gepunktet ist, heißt, dass sie nicht zum gefärbten Gebiet gehört.

Beispiel 11

Zeichne das Gebiet im \displaystyle x,y-Koordinatensystem, das die Ungleichung \displaystyle 2 \le 3x+2y\le 4 erfüllt.

Die doppelte Ungleichung kann in zwei Ungleichungen aufgeteilt werden

\displaystyle 3x+2y \ge 2 \quad und \displaystyle \quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}

Wir subtrahieren den \displaystyle x-Term von beiten Seiten und dividieren danach beide Seiden durch \displaystyle 2

\displaystyle y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad und \displaystyle \quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}

Die Punkte, die die erste Ungleichung erfüllen, liegen auf oder oberhalb der Geraden \displaystyle y = 1-\tfrac{3}{2}x, während die Punkte, welche die zweite Ungleichung erfüllen auf oder unterhalb der Geraden \displaystyle y= 2-\tfrac{3}{2}x liegen.

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Das linke Bild zeigt das Gebiet \displaystyle 3x+2y\ge 2 und das rechte Bild zeigt das Gebiet \displaystyle 3x+2y\le 4.

Die Punkte, die beide Ungleichungen erfüllen liegen auch in beiden Gebieten.

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Das Bild zeigt das Gebiet \displaystyle 2\le 3x+2y\le 4.

Beispiel 12

Die Geraden \displaystyle y=x, \displaystyle y=-x und \displaystyle y=2 begrenzen ein Dreieck.

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Wir sehen, dass ein Punkt folgende Bedienungen erfüllen muss, um im Dreieck zu liegen:

Die \displaystyle y-Koordinate muss geringer als \displaystyle 2 sein. Die \displaystyle y-Koordinate muss aber auch größer als \displaystyle 0 sein. Also muss gelten, dass \displaystyle 0\le y\le2.

Wir sehen auch, dass alle Punkte oberhalb der Geraden \displaystyle y=-x und \displaystyle y=x liegen müssen. Dies entspricht, dass \displaystyle -y\le x\le y. Nachdem wir Begrenzungen für die \displaystyle y-Koordinate haben, wissen wir auch, dass \displaystyle x kleiner als \displaystyle 2 sein muss und größer als \displaystyle -2.

Die Grundseite (oder Basis) des Dreiecks ist \displaystyle 4 und die Höhe ist \displaystyle 2.

Die Fläche des Dreiecks ist daher \displaystyle 4\cdot 2/2=4.



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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

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Bedenke folgendes ...

Fertige immer eine eigene kleine Zeichnung an, wenn Du geometrische Probleme lösen willst, und zeichne genau. Mit einer guten Zeichnung ist das Problem oft schon gelöst, während eine schlechte Zeichnung irreführend sein kann.


Nützliche Websites

Experimente mit Geradengleichungen (engl.)

Experimente mit Archimedischen Dreiecken (engl.)

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