2.1 Algebraische Ausdrücke

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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__NOTOC__
 +
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 +
{{Gewählter Tab|[[2.1 Algebraische Ausdrücke|Theorie]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[2.1 Übungen|Übungen]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
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|}
 +
{{Info|
{{Info|
-
'''Innehåll:'''
+
'''Inhalt:'''
-
*Distributiva lagen
+
* Das Distributivgesetz
-
*Kvadreringsreglerna
+
* Binomische Formeln
-
*Konjugatregeln
+
* Differenz von zwei Quadraten
-
*Rationella uttryck
+
* Rationale Ausdrücke
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Lärandemål:'''
+
'''Lernziele:'''
-
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
*Förenkla komplicerade algebraiska uttryck.
+
* Algebraische Ausdrücke vereinfachen.
-
*Faktorisera uttryck med kvadreringsreglerna och konjugatregeln.
+
* Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln faktorisieren.
-
*Utveckla uttryck med kvadreringsreglerna och konjugatregeln.
+
* Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln erweitern.
}}
}}
-
== Distributiva lagen ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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'''Was ist eigentlich ein algebraischer Ausdruck?'''
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Statt Ausdruck kann man auch Term sagen: Es sind Summen und Produkte, die Variablen enthalten. Bei einem "algebraischer Ausdruck" kommen von den Variablen auch Potenzen vor. Haben alle Potenzen einen natürlichen Exponenten nennt man den algebraischen Ausdruck auch ganzrationalen Ausdruck oder Polynom in einer bestimmten Variable. Ein Bruch von zwei ganzrationalen Ausdrücken heisst ein gebrochen rationaler Ausdruck.
 +
 
 +
== A - Das Distributivgesetz ==
 +
 
 +
Das Distributivgesetz ist die Regel für die Multiplikation einer Addition in einer Klammer mit einem Faktor außerhalb der Klammer.
-
[[Bild:miniräknare_skämt.gif|right]]
 
-
Den distributiva lagen anger hur man multiplicerar in en faktor i en parentes.
 
-
<center>{{:2.1 - Figur - Distributiva lagen}}</center>
+
<center>{{:2.1 - Bild - Das Distributivgesetz}}</center>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
''' Beispiel 1'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 40: Zeile 54:
</div>
</div>
-
Med den distributiva lagen kan vi också förstå hur vi kan hantera minustecken framför parentesuttryck. Regeln säger att en parentes med ett minustecken framför kan tas bort om alla termer inuti parentesen byter tecken.
+
Das Distributivgesetz erklärt auch, wie ein Minuszeichen vor einer Klammer interpretiert werden soll: Ein Minuszeichen vor einer Klammer entspricht dem Wechsel des Vorzeichens von allen Zahlen in der Klammer. Siehe dazu Beispiel 2a. und 2b.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
''' Beispiel 2'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 49: Zeile 63:
<li><math>-(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x
<li><math>-(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x
= -x^2 +x</math><br/>
= -x^2 +x</math><br/>
-
:där vi i sista ledet använt att <math>-(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x</math></li>
+
Wobei wir im letzten Schritt <math>-(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x\,\mbox{.}</math> verwendet haben</li>
<li><math>-(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x
<li><math>-(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x
+ (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3</math><br/>
+ (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3</math><br/>
Zeile 58: Zeile 72:
</div>
</div>
-
Om den distributiva lagen används baklänges så sägs vi faktorisera uttrycket. Ofta försöker man bryta ut en så stor faktor som möjligt.
+
Das Distributivgesetz kann auch in umgekehrter Reihenfolge angewendet werden. Dies nennt man "Ausklammern". Oft möchte man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) ausklammern.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
''' Beispiel 3'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 71: Zeile 85:
</div>
</div>
 +
== B - Die binomischen Formeln ==
-
== Kvadreringsreglerna ==
+
Das Distributivgesetz kann angewendet werden, um andere Rechenregeln herzuleiten. Wenn wir folgenden Ausdruck beachten
-
Den distributiva lagen behöver ibland användas upprepade gånger för att behandla större uttryck. Om vi betraktar
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(c+d)</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>(a+b)(c+d)</math>}}
+
und <math>(a+b)</math> als einen Faktor betrachten, der mit der Klammer <math>(c+d)</math> multipliziert wird, bekommen wir
-
och ser <math>a+b</math> som en faktor som multipliceras in i parentesen (c+d) så får vi
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{
 +
\bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d)
 +
&= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c
 +
+ \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr
 +
(a+b)\,(c+d)
 +
&= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\eqalign{
+
Danach verwenden wir wieder das Distributivgesetz und multiplizieren <math>c</math> und <math>d</math> mit ihren jeweiligen Klammern.
-
\bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d)
+
-
&= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c
+
-
+ \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr
+
-
(a+b)\,(c+d)
+
-
&= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}</math>}}
+
-
Sedan kan <math>c</math> och <math>d</math> multipliceras in i respektive parentes
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>(a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}</math>}}
+
Um sich an die Formel zu erinnern, kann man wie folgt denken:
-
Ett minnesvärt sätt att sammanfatta formeln är:
+
<center>{{:2.1 - Bild - Das Distributivgesetz zweimal}}</center>
-
 
+
-
<center>{{:2.1 - Figur - Distributiva lagen två gånger}}</center>
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
''' Beispiel 4'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 108: Zeile 121:
= 2-x-2x+x^2</math><br/>
= 2-x-2x+x^2</math><br/>
<math>\phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2</math>
<math>\phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2</math>
-
:där vi använt att <math>-x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 = 1\cdot x^2 = x^2</math>.
+
wobei wir folgende Rechnung benutzt haben <math>-x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 = 1\cdot x^2 = x^2</math>.
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
Två viktiga specialfall av ovanstående formel är när <math>a+b</math> och <math>c+d</math> är samma uttryck
+
Es gibt zwei wichtige Spezialfälle von dieser Regel, nämlich wenn <math>a+b = c+d</math> ist.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Kvadreringsreglerna'''
+
'''Binomische Formeln'''
-
{{Fristående formel||<math>(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2</math>}}
</div>
</div>
-
Dessa formler kallas för första och andra kvadreringsregeln.
+
Diese Regeln werden die erste und zweite binomische Formel genannt.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
''' Beispiel 5'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>(x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4</math></li>
<li><math>(x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4</math></li>
<li><math>(-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9</math> <br>
<li><math>(-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9</math> <br>
-
:där <math>(-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2</math></li>
+
: wobei <math>(-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2\,\mbox{.}</math></li>
<li><math>(x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2
<li><math>(x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2
= x^4 -8x^2 +16</math></li>
= x^4 -8x^2 +16</math></li>
Zeile 144: Zeile 157:
</div>
</div>
-
Kvadreringsreglerna används också i omvänd riktning för att faktorisera uttryck.
+
Die binomischen Formeln können auch rückwärts verwendet werden, um einen Summe in ein Produkt zu verwandeln. Weil die Bestandteile eines Produktes Faktoren heissen, sagt man dazu auch "einen Ausdruck faktorisieren".
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
''' Beispiel 6'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 157: Zeile 170:
</div>
</div>
 +
== C - Differenz von zwei Quadraten ==
-
== Konjugatregeln ==
+
Es gibt auch eine dritte binomische Formel, diese lautet:
-
 
+
-
Ett tredje specialfall av den första formeln i förra avsnittet är konjugatregeln
+
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Konjugatregeln:'''
+
'''Die Differenz von zwei Quadraten:'''
-
{{Fristående formel||<math>(a+b)(a-b) = a^2 -b^2</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(a-b) = a^2 -b^2</math>}}
</div>
</div>
-
Denna formel kan vi få fram direkt genom att utveckla vänsterledet
+
Diese Formel kann hergeleitet werden, indem man das Distributivgesetz zweimal verwendet.
-
{{Fristående formel||<math>(a+b)(a-b)
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(a-b)
-
= a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b)
+
= a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b)
-
= a^2 -ab+ab-b^2
+
= a^2 -ab+ab-b^2
-
= a^2 -b^2\mbox{.}</math>}}
+
= a^2 -b^2\mbox{.}</math>}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 7'''
+
''' Beispiel 7'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 188: Zeile 200:
-
== Rationella uttryck ==
+
== D - Gebrochen rationale Ausdrücke ==
-
Räkning med algebraiska uttryck som innehåller bråk liknar till stor del vanlig bråkräkning.
+
Rechnungen mit gebrochen rationalen Ausdrücken sind Rechnungen mit Brüchen sehr ähnlich.
-
Multiplikation och division av bråkuttryck följer samma räkneregler som gäller för vanliga bråktal,
+
Alle Rechenregeln, die für Brüche gelten, gelten auch für gebrochen rationale Ausdrücke.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math> \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}
+
{{Abgesetzte Formel||<math> \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}
-
= \frac{a\cdot c}{b\cdot d}
+
= \frac{a\cdot c}{b\cdot d}
-
\quad \mbox{och} \quad
+
\quad \mbox{und} \quad
-
\frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}}
+
\frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}}
-
= \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}</math>}}
+
= \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 8'''
+
''' Beispiel 8'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 216: Zeile 228:
</div>
</div>
-
Förlängning av ett bråkuttryck innebär att vi multiplicerar täljare och nämnare med samma faktor
+
Man kann den Zähler und Nenner eines gebrochen rationalen Ausdruckes mit jeweils demselben Ausdruck multiplizieren. Dies nennt man wie bei Brüchen Erweitern.
-
{{Fristående formel||<math>\frac{x+2}{x+1}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x+2}{x+1}
-
= \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)}
+
= \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)}
-
= \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)}
+
= \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)}
-
= \dots</math>}}
+
= \dots</math>}}
-
Förkortning av ett bråkuttryck innebär att vi stryker faktorer som täljaren och nämnaren har gemensamt
+
Dies gilt auch umgekehrt, nämlich dass man den Zähler und Nenner eines gebrochen rationalen Ausdrucks jeweils durch denselben Ausdruck dividiert. Dies wird wie bei Brüchen auch kürzen genannt.
-
{{Fristående formel||<math>\frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }
-
= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)}
+
= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)}
-
= \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}</math>}}
+
= \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}</math>}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 9'''
+
''' Beispiel 9'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 237: Zeile 249:
<li><math>\frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \frac{1}{x}</math></li>
<li><math>\frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \frac{1}{x}</math></li>
<li><math>\frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)}
<li><math>\frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)}
-
= \left\{\,\text{konjugatregeln}\,\right\}
+
= \left\{\,\text{Binomische Formel}\,\right\}
= \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)}
= \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)}
= \frac{x-y}{x+2}</math></li>
= \frac{x-y}{x+2}</math></li>
Zeile 243: Zeile 255:
</div>
</div>
-
När bråkuttryck adderas eller subtraheras behöver de, om så är nödvändigt, förlängas så att de får samma nämnare innan täljarna kan kombineras ihop,
+
Wenn man Brüche addiert oder subtrahiert, muss man die Brüche zuerst erweitern, sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben
-
{{Fristående formel||<math>\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}
 
-
= \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x}
 
-
= \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)}
 
-
= \frac{x-1-x}{x(x-1)}
 
-
= \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}</math>}}
 
-
Ofta försöker man förlänga med så lite som möjligt för att underlätta räknandet. Minsta gemensamma nämnare (MGN) är den gemensamma nämnare som innehåller minst antal faktorer.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}
 +
= \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x}
 +
= \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)}
 +
= \frac{x-1-x}{x(x-1)}
 +
= \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}</math>}}
 +
 
 +
Um die Ausdrücke so klein wie möglich zu behalten, sollte man immer den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche finden. Der kleinste gemeinsame Nenner von zwei Brüchen ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner der Brüche.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 10'''
+
''' Beispiel 10'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad</math> har <math>\ \text{MGN}
+
<li><math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad</math>
-
= (x+1)(x+2)</math> <br><br>
+
Das kleinste gemeinsame Vielfache von <math>x+1</math> und <math> x+2</math> ist <math> (x+1)(x+2) </math>. Darum ist <math>
-
Förläng den första termen med <math>(x+2)</math> och den andra termen med <math>(x+1)</math>
+
(x+1)(x+2)</math> der kleinste gemeinsame Nenner von <math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad</math>. <br><br>
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
Wir erweitern den ersten Bruch mit <math>(x+2)</math> und den zweiten Bruch mit <math>(x+1)</math>
-
\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
&= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt]
+
\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}
-
&= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)}
+
&= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt]
-
= \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.}
+
&= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)}
-
\end{align*}</math>}}</li>
+
= \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.}
-
<li><math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad</math> har <math>\ \text{MGN}
+
\end{align*}</math>}}</li>
-
= x^2</math><br><br>
+
 
-
Vi behöver bara förlänga den första termen för att få en gemensam nämnare
+
<li><math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math>
-
{{Fristående formel||<math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}
+
x^2</math><br><br>
-
= \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}
+
Wir müssen nur den ersten Bruch erweitern, damit beide Brüche den gleichen Nenner haben.
-
= \frac{x+1}{x^2}</math>}}</li>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}
-
<li><math>\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad</math> har <math>\
+
= \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}
-
\text{MGN}= x^2(x+1)^2(x+2)</math><br><br>
+
= \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
Den första termen förlängs med <math>x(x+2)</math> medan den andra termen förlängs med <math>(x+1)^2</math>
+
 
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
<li><math>\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math> x^2(x+1)^2(x+2)</math><br><br>
-
\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}
+
Wie erweitern den ersten Bruch mit <math>x(x+2)</math> und den zweiten Bruch mit <math>(x+1)^2</math>
-
&= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
- \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
+
\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}
-
&= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
+
&= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)}
-
&= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
+
- \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
-
&= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
+
&= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
-
&= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}
+
&= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
-
\end{align*}</math>}}</li>
+
&= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
-
<li><math>\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad</math> har <math>\
+
&= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.}
-
\text{MGN}=x(x-1)(x+1)</math><br><br>
+
\end{align*}</math>}}</li>
-
Vi förlänger alla termer så att de får den gemensamma nämnaren <math>x(x-1)(x+1)</math>
+
 
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
<li><math>\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math> x(x-1)(x+1)</math><br><br>
-
\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1
+
 
-
&= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
+
Wir müssen alle Brüche erweitern, sodass sie den gemeinsamen Nenner <math>x(x-1)(x+1)</math> haben.
-
- \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
&= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
+
\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1
-
- \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
+
&= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
-
&= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
+
- \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
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&= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
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&= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
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&= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}
+
- \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
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\end{align*}</math>}}</li>
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&= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
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&= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
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&= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}\,\mbox{.}
 +
\end{align*}</math>}}</li>
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-
Vid förenkling av större uttryck är det ofta nödvändigt att både förlänga och förkorta i steg. Eftersom förkortning förutsätter att vi kan faktorisera uttryck är det viktigt att försöka behålla uttryck (t.ex nämnare) faktoriserade och inte utveckla något som vi senare behöver faktorisera.
+
Um große Ausdrücke zu vereinfachen, kürzt man häufig die Brüche. Um Brüche kürzen zu können, müssen sie in ihre Faktoren zerlegt werden, sodass man die Faktoren erkennt. Deshalb sollten die Ausdrücke immer faktorisiert bleiben, solange man nicht mit den Rechnungen fertig ist.
 +
 
<div class="exempel">
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'''Exempel 11'''
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''' Beispiel 11'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}
<li><math>\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}
-
= \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}
+
= \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}</math><br/><br/>
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= \left\{\,\mbox{MGN}
+
<math>\phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{}
-
= (x+2)(x-2)\,\right\}</math><br/><br/>
+
= \left\{\,\mbox{Kleinster gemeinsamer Nenner}
 +
= (x+2)(x-2)\,\right\}
 +
</math><br/><br/>
<math>\phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{}
<math>\phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{}
= \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}</math><br/><br/>
= \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}</math><br/><br/>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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[[2.1 Övningar|Övningar]]
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[2.1 Übungen|Übungen]]''' .
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<div class="inforuta">
 
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'''Råd för inläsning'''
 
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'''Grund- och slutprov'''
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'''Tipps fürs Lernen'''
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Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
+
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
 +
Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
-
'''Tänk på att:'''
 
-
Var noggrann. Om du gör ett fel på ett ställe så kommer resten av uträkningen också vara fel.
+
'''Bedenke folgendes: '''
-
Använd många mellanled. Om du är osäker på en uträkning utför då hellre enkla steg än ett stort steg.
+
Vorsicht! Ein Rechenfehler kann die ganze Rechnung zerstören.
-
Utveckla inte i onödan. Du kan vid ett senare tillfälle vara tvungen att faktorisera tillbaka.
+
Rechne lieber in mehreren Schritten als in einem Schritt, falls Du Dich unsicher fühlst.
 +
Das Erweitern von Ausdrücken ist oft unnötig, da Du den Ausdruck später vielleicht kürzen musst.
-
'''Lästips'''
 
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[http://en.wikipedia.org/wiki/Algebra Läs mer om algebra på engelska Wikipedia]
+
'''Reviews'''
-
[http://www.jamesbrennan.org/algebra/ Understanding Algebra - engelsk textbok på nätet]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Algebra Mehr über Algebra in der Wikipedia ]
 +
[http://www.jamesbrennan.org/algebra/ Understanding Algebra - ein englischer Text im Web ]
-
'''Länktips'''
 
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Das Distributivgesetz
  • Binomische Formeln
  • Differenz von zwei Quadraten
  • Rationale Ausdrücke

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Algebraische Ausdrücke vereinfachen.
  • Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln faktorisieren.
  • Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln erweitern.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).


Was ist eigentlich ein algebraischer Ausdruck?

Statt Ausdruck kann man auch Term sagen: Es sind Summen und Produkte, die Variablen enthalten. Bei einem "algebraischer Ausdruck" kommen von den Variablen auch Potenzen vor. Haben alle Potenzen einen natürlichen Exponenten nennt man den algebraischen Ausdruck auch ganzrationalen Ausdruck oder Polynom in einer bestimmten Variable. Ein Bruch von zwei ganzrationalen Ausdrücken heisst ein gebrochen rationaler Ausdruck.

A - Das Distributivgesetz

Das Distributivgesetz ist die Regel für die Multiplikation einer Addition in einer Klammer mit einem Faktor außerhalb der Klammer.


[Image]

Beispiel 1

  1. \displaystyle 4(x+y) = 4x + 4y
  2. \displaystyle 2(a-b) = 2a -2b
  3. \displaystyle x \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) = x\cdot \frac{1}{x} + x \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{\not{x}}{\not{x}} + \frac{\not{x}}{x^{\not{2}}} = 1 + \frac{1}{x}
  4. \displaystyle a(x+y+z) = ax + ay + az

Das Distributivgesetz erklärt auch, wie ein Minuszeichen vor einer Klammer interpretiert werden soll: Ein Minuszeichen vor einer Klammer entspricht dem Wechsel des Vorzeichens von allen Zahlen in der Klammer. Siehe dazu Beispiel 2a. und 2b.

Beispiel 2

  1. \displaystyle -(x+y) = (-1) \cdot (x+y) = (-1)x + (-1)y = -x-y
  2. \displaystyle -(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x = -x^2 +x
    Wobei wir im letzten Schritt \displaystyle -(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x\,\mbox{.} verwendet haben
  3. \displaystyle -(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x + (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3
    \displaystyle \phantom{-(x+y-y^3)}{} = -x-y+y^3
  4. \displaystyle x^2 - 2x -(3x+2) = x^2 -2x -3x-2 = x^2 -(2+3)x -2
    \displaystyle \phantom{x^2-2x-(3x+2)}{} = x^2 -5x -2

Das Distributivgesetz kann auch in umgekehrter Reihenfolge angewendet werden. Dies nennt man "Ausklammern". Oft möchte man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) ausklammern.

Beispiel 3

  1. \displaystyle 3x +9y = 3x + 3\cdot 3y = 3(x+3y)
  2. \displaystyle xy + y^2 = xy + y\cdot y = y(x+y)
  3. \displaystyle 2x^2 -4x = 2x\cdot x - 2\cdot 2\cdot x = 2x(x-2)
  4. \displaystyle \frac{y-x}{x-y} = \frac{-(x-y)}{x-y} = \frac{-1}{1} = -1

B - Die binomischen Formeln

Das Distributivgesetz kann angewendet werden, um andere Rechenregeln herzuleiten. Wenn wir folgenden Ausdruck beachten

\displaystyle (a+b)(c+d)

und \displaystyle (a+b) als einen Faktor betrachten, der mit der Klammer \displaystyle (c+d) multipliziert wird, bekommen wir

\displaystyle \eqalign{

\bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d) &= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c + \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr (a+b)\,(c+d) &= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}

Danach verwenden wir wieder das Distributivgesetz und multiplizieren \displaystyle c und \displaystyle d mit ihren jeweiligen Klammern.

\displaystyle (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}

Um sich an die Formel zu erinnern, kann man wie folgt denken:

[Image]

Beispiel 4

  1. \displaystyle (x+1)(x-2) = x\cdot x + x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = x^2 -2x+x-2
    \displaystyle \phantom{(x+1)(x-2)}{}=x^2 -x-2
  2. \displaystyle 3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1) = 3(2x^2 +x-2xy-y)
    \displaystyle \phantom{3(x-y)(2x+1)}{}=6x^2 +3x-6xy-3y
  3. \displaystyle (1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x) = 2-x-2x+x^2
    \displaystyle \phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2 wobei wir folgende Rechnung benutzt haben \displaystyle -x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 = 1\cdot x^2 = x^2.

Es gibt zwei wichtige Spezialfälle von dieser Regel, nämlich wenn \displaystyle a+b = c+d ist.

Binomische Formeln

\displaystyle (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2
\displaystyle (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2

Diese Regeln werden die erste und zweite binomische Formel genannt.

Beispiel 5

  1. \displaystyle (x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4
  2. \displaystyle (-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9
    wobei \displaystyle (-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2\,\mbox{.}
  3. \displaystyle (x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2 = x^4 -8x^2 +16
  4. \displaystyle (x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2 +2x +1)- (x^2-2x+1)
    \displaystyle \phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{}= x^2 +2x +1 -x^2 + 2x-1
    \displaystyle \phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{} = 2x+2x = 4x
  5. \displaystyle (2x+4)(x+2) = 2(x+2)(x+2) = 2(x+2)^2 = 2(x^2 + 4x+ 4)
    \displaystyle \phantom{(2x+4)(x+2)}{}=2x^2 + 8x + 8
  6. \displaystyle (x-2)^3 = (x-2)(x-2)^2 = (x-2)(x^2-4x+4)
    \displaystyle \phantom{(x-2)^3}{}=x \cdot x^2 + x\cdot (-4x) + x\cdot 4 - 2\cdot x^2 - 2 \cdot (-4x)-2 \cdot 4
    \displaystyle \phantom{(x-2)^3}{}=x^3 -4x^2 + 4x-2x^2 +8x -8 = x^3-6x^2 + 12x -8

Die binomischen Formeln können auch rückwärts verwendet werden, um einen Summe in ein Produkt zu verwandeln. Weil die Bestandteile eines Produktes Faktoren heissen, sagt man dazu auch "einen Ausdruck faktorisieren".

Beispiel 6

  1. \displaystyle x^2 + 2x+ 1 = (x+1)^2
  2. \displaystyle x^6-4x^3 +4 = (x^3)^2 - 2\cdot 2x^3 +2^2 = (x^3-2)^2
  3. \displaystyle x^2 +x + \frac{1}{4} = x^2 + 2\cdot\frac{1}{2}x + \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 = \bigl(x+\frac{1}{2}\bigr)^2

C - Differenz von zwei Quadraten

Es gibt auch eine dritte binomische Formel, diese lautet:

Die Differenz von zwei Quadraten:

\displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 -b^2

Diese Formel kann hergeleitet werden, indem man das Distributivgesetz zweimal verwendet.

\displaystyle (a+b)(a-b)

= a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b) = a^2 -ab+ab-b^2 = a^2 -b^2\mbox{.}

Beispiel 7

  1. \displaystyle (x-4y)(x+4y) = x^2 -(4y)^2 = x^2 -16y^2
  2. \displaystyle (x^2+2x)(x^2-2x)= (x^2)^2 - (2x)^2 = x^4 -4x^2
  3. \displaystyle (y+3)(3-y)= (3+y)(3-y) = 3^2 -y^2 = 9-y^2
  4. \displaystyle x^4 -16 = (x^2)^2 -4^2 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x^2-2^2)
    \displaystyle \phantom{x^4-16}{}=(x^2+4)(x+2)(x-2)


D - Gebrochen rationale Ausdrücke

Rechnungen mit gebrochen rationalen Ausdrücken sind Rechnungen mit Brüchen sehr ähnlich.

Alle Rechenregeln, die für Brüche gelten, gelten auch für gebrochen rationale Ausdrücke.

\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}

= \frac{a\cdot c}{b\cdot d} \quad \mbox{und} \quad \frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}

Beispiel 8

  1. \displaystyle \frac{3x}{x-y} \cdot \frac{4x}{2x+y} = \frac{3x\cdot 4x}{(x-y)\cdot(2x+y)} = \frac{12x^2}{(x-y)(2x+y)}
  2. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{x}}{\displaystyle \frac{x+1}{a}} = \frac{a^2}{x(x+1)}
  3. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x}{(x+1)^2}}{\displaystyle \frac{x-2}{x-1}} = \frac{x(x-1)}{(x-2)(x+1)^2}

Man kann den Zähler und Nenner eines gebrochen rationalen Ausdruckes mit jeweils demselben Ausdruck multiplizieren. Dies nennt man wie bei Brüchen Erweitern.

\displaystyle \frac{x+2}{x+1}

= \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)} = \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)} = \dots

Dies gilt auch umgekehrt, nämlich dass man den Zähler und Nenner eines gebrochen rationalen Ausdrucks jeweils durch denselben Ausdruck dividiert. Dies wird wie bei Brüchen auch kürzen genannt.

\displaystyle \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }

= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}

Beispiel 9

  1. \displaystyle \frac{x}{x+1} = \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+2}{x+2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)(x+2)}
  2. \displaystyle \frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \frac{1}{x}
  3. \displaystyle \frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)} = \left\{\,\text{Binomische Formel}\,\right\} = \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)} = \frac{x-y}{x+2}

Wenn man Brüche addiert oder subtrahiert, muss man die Brüche zuerst erweitern, sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben


\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}

= \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x} = \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)} = \frac{x-1-x}{x(x-1)} = \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}

Um die Ausdrücke so klein wie möglich zu behalten, sollte man immer den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche finden. Der kleinste gemeinsame Nenner von zwei Brüchen ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner der Brüche.

Beispiel 10

  1. \displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad Das kleinste gemeinsame Vielfache von \displaystyle x+1 und \displaystyle x+2 ist \displaystyle (x+1)(x+2) . Darum ist \displaystyle (x+1)(x+2) der kleinste gemeinsame Nenner von \displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad.

    Wir erweitern den ersten Bruch mit \displaystyle (x+2) und den zweiten Bruch mit \displaystyle (x+1)
    \displaystyle \begin{align*}

    \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} &= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)} = \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.} \end{align*}

  2. \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x^2

    Wir müssen nur den ersten Bruch erweitern, damit beide Brüche den gleichen Nenner haben.
    \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}

    = \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}

  3. \displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x^2(x+1)^2(x+2)

    Wie erweitern den ersten Bruch mit \displaystyle x(x+2) und den zweiten Bruch mit \displaystyle (x+1)^2
    \displaystyle \begin{align*}

    \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)} &= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.} \end{align*}

  4. \displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x(x-1)(x+1)

    Wir müssen alle Brüche erweitern, sodass sie den gemeinsamen Nenner \displaystyle x(x-1)(x+1) haben.
    \displaystyle \begin{align*}

    \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 &= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}\,\mbox{.} \end{align*}

Um große Ausdrücke zu vereinfachen, kürzt man häufig die Brüche. Um Brüche kürzen zu können, müssen sie in ihre Faktoren zerlegt werden, sodass man die Faktoren erkennt. Deshalb sollten die Ausdrücke immer faktorisiert bleiben, solange man nicht mit den Rechnungen fertig ist.


Beispiel 11

  1. \displaystyle \frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}

    \displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \left\{\,\mbox{Kleinster gemeinsamer Nenner} = (x+2)(x-2)\,\right\}

    \displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}

    \displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2 -4}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} = \frac{1}{x+2}
  2. \displaystyle \frac{x + \displaystyle \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2+1}{x}}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x}
  3. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2-x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{y^2-x^2}{x^2y^2(x+y)}

    \displaystyle \phantom{\smash{\frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y}}}{} = \frac{(y+x)(y-x)}{x^2y^2(x+y)} = \frac{y-x}{x^2y^2}



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