1.2 Brüche

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Mall:Vald flik|[[1.2 Bråkräkning|Teori]]}}
+
{{Gewählter Tab|[[1.2 Brüche|Theorie]]}}
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{{Mall:Ej vald flik|[[1.2 Övningar|Övningar]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[1.2 Übungen|Übungen]]}}
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|}
|}
{{Info|
{{Info|
-
'''Innehåll:'''
+
'''Inhalt:'''
-
* Addition och subtraktion av bråktal
+
* Addition und Subtraktion von Brüchen
-
* Multiplikation och division av bråktal
+
* Multiplikation und Division von Brüchen
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Lärandemål:'''
+
'''Lernziele:'''
-
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du ...
-
*Beräkna uttryck som innehåller bråktal, de fyra räknesätten och parenteser.
+
* ... Ausdrücke bestehend aus Brüchen, den vier Grundrechnungsarten und Klammern berechnen können.
-
*Förkorta bråk så långt som möjligt.
+
* ... Brüche so weit wie möglich kürzen können.
-
*Bestämma minsta gemensamma nämnare (MGN).
+
* ... den Hauptnenner von Brüchen bestimmen können.
}}
}}
-
==Förlängning och förkortning==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weisst ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
Ett rationellt tal kan skrivas på många sätt, beroende på vilken nämnare man väljer att använda. Exempelvis har vi att
+
== A - Brüche kürzen und erweitern ==
-
{{Fristående formel||<math>0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16}\quad\textrm{osv.}</math>}}
+
Eine rationale Zahl kann in mehreren äquivalenten Formen dargestellt werden, je nach der Wahl des Zählers und Nenners. Zum Beispiel:
-
Värdet av ett rationellt tal ändras inte när man multiplicerar eller dividerar täljare och nämnare med samma tal. Dessa operationer kallas ''förlängning'' respektive ''förkortning''.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16}\quad\textrm{etc.}</math>}}
 +
 
 +
Ein Bruch ändert also nicht seinen Wert, wenn man den Zähler und den Nenner jeweils mit der gleichen Zahl multipliziert oder durch die gleiche Zahl teilt. Diesen Vorgang nennt man erweitern bzw. kürzen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
''' Beispiel 1'''
-
 
+
Multiplikation mit derselben Zahl:
-
Förlängning:
+
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\frac{2}{3} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{10}{15}</math></li>
<li><math>\frac{2}{3} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{10}{15}</math></li>
<li><math>\frac{5}{7} = \frac{5\cdot 4}{7\cdot 4} = \frac{20}{28}</math></li>
<li><math>\frac{5}{7} = \frac{5\cdot 4}{7\cdot 4} = \frac{20}{28}</math></li>
</ol>
</ol>
-
 
+
Division durch dieselbe Zahl:
-
Förkortning:
+
<ol type="a" start="3">
<ol type="a" start="3">
Zeile 51: Zeile 51:
</div>
</div>
-
Man bör alltid ange ett bråk förkortat så långt som möjligt. Detta kan vara arbetsamt när stora tal är inblandade, varför man redan under en pågående uträkning bör försöka hålla bråk i så förkortad form som möjligt.
+
Ein Bruch sollte immer so weit wie möglich gekürzt werden. Dies kann bei großen Zahlen schwierig werden. Deshalb sollte man die Brüche so kurz wie möglich in den Rechnungen schreiben.
-
== Addition och subtraktion av bråk ==
+
== B - Addition und Subtraktion von Brüchen ==
-
Vid addition och subtraktion av tal i bråkform måste bråken ha samma nämnare. Om så inte är fallet måste man först förlänga respektive bråk med lämpliga tal så att gemensam nämnare erhålles.
+
Um Brüche addieren und subtrahieren zu können, müssen alle Brüche denselben Nenner haben. Wenn das nicht der Fall ist, muss man zuerst die Brüche mit einer geeigneten Zahl erweitern, sodass sie denselben Nenner bekommen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
''' Beispiel 2'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\frac{3}{5}+\frac{2}{3}
<li><math>\frac{3}{5}+\frac{2}{3}
Zeile 72: Zeile 72:
</div>
</div>
-
Det viktiga är här att åstadkomma en gemensam nämnare, men man bör sträva efter att hitta en så låg gemensam nämnare som möjligt. Idealet är att hitta den minsta gemensamma nämnaren (MGN). Man kan alltid erhålla en gemensam nämnare genom att multiplicera de inblandade nämnarna med varandra. Detta är dock inte alltid nödvändigt.
+
Das Wichtigste hier ist, einen gemeinsamen Nenner zu finden. Einen gemeinsamen Nenner findet man einfach, indem man alle Brüche mit den Nennern der anderen Brüche erweitert. Oft erhält man dadurch aber sehr große Zahlen, die das Weiterrechnen erschweren. Daher ist es ideal, den ''kleinstmöglichen'' gemeinsamen Nenner, den sogenannten Hauptnenner, zu finden.
 +
Der Hauptnenner zweier oder mehrerer Brüche ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner der einzelnen Brüche.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
'''Beispiel 3'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\frac{7}{15}-\frac{1}{12}
<li><math>\frac{7}{15}-\frac{1}{12}
Zeile 106: Zeile 107:
</div>
</div>
-
Man bör vara så pass tränad i huvudräkning att man snabbt kan hitta MGN om nämnarna är av rimlig storlek. Att allmänt bestämma den minsta gemensamma nämnaren kräver att man studerar vilka primtal som ingår som faktorer i respektive nämnare.
+
Man sollte die Bruchrechnung so gut beherrschen, dass man direkt den Hauptnenner von nicht all zu großen Brüchen findet. Eine allgemeine Methode um den Hauptnenner zu finden, besteht darin, dass man die Nenner in ihre Primfaktoren zerlegt.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
'''Beispiel 4'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Beräkna <math>\ \frac{1}{60} + \frac{1}{42}</math>.<br/><br/>
+
<li>Vereinfache <math>\ \frac{1}{60} + \frac{1}{42}</math>.<br/><br/>
-
 
+
Wir zerlegen die Nenner zuerst in ihre Primfaktoren.
-
Delar vi upp 60 och 42 i så små heltalsfaktorer som möjligt, så kan vi bestämma det minsta heltal som är delbart med 60 och 42 genom att multiplicera ihop deras faktorer men undvika att ta med för många av faktorerna som talen har gemensamt
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{60 &= 2\cdot &2\cdot &3\cdot &5& \cr 42 &= &2\cdot &3\cdot &&7}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\left.\eqalign{60 &= 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cr 42 &= 2\cdot 3\cdot 7}\right\} \quad\Rightarrow\quad \text{MGN} = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 420\mbox{.}</math>}}
+
Das kgV der beiden Nenner ist das Produkt aus allen Primfaktoren, die in einer der beiden Zerlegungen vorkommen. Gleiche Primfaktoren werden dabei so oft verwendet, wie in der Zerlegung, in der sie am häufigsten vorkommen:
-
Vi kan då skriva
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{kgV}(60,42) = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 420\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\frac{1}{60}+\frac{1}{42} = \frac{1\cdot 7}{60\cdot 7} + \frac{1\cdot 2\cdot 5}{42\cdot 2\cdot 5} = \frac{7}{420} + \frac{10}{420} =\frac{17}{420}</math>}}
+
Anstatt nun jeden Bruch mit dem gesamten Nenner des anderen Bruches zu erweitern, erweitern wir die Brüche nur mit den Primfaktoren, die dem jeweiligen Nenner noch zum kgV fehlen und bringen sie so auf den Hauptnenner. Danach könne wir einfach addieren:
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{60}+\frac{1}{42} = \frac{1\cdot 7}{60\cdot 7} + \frac{1\cdot 2\cdot 5}{42\cdot 2\cdot 5} = \frac{7}{420} + \frac{10}{420} =\frac{17}{420}\,\mbox{.}</math>}}
</li>
</li>
-
<li>Beräkna <math>\ \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18}</math>.<br/><br/>
+
<li> Vereinfache <math>\ \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18}</math>.<br/><br/>
-
 
+
Bestimmung des kgV der drei Nenner:
-
Minsta gemensamma nämnare väljs så att den innehåller precis så
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{15 &= &3\cdot &&5\cr 6&=2\cdot &3\cr 18 &= 2\cdot &3\cdot &3} </math>}}
-
många primtalsfaktorer så att den blir delbar med 15, 6 och 18
+
haben das kgV
-
{{Fristående formel||<math>\left. \eqalign{15 &= 3\cdot 5\cr 6&=2\cdot 3\cr 18 &= 2\cdot 3\cdot 3} \right\} \quad\Rightarrow\quad \text{MGN} = 2\cdot 3\cdot 3\cdot5 = 90\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
Vi kan då skriva
+
\text{kgV}(15, 6, 18) = 2\cdot 3\cdot 3\cdot5 = 90\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math> \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18} = \frac{2\cdot 2\cdot 3}{15\cdot 2\cdot 3} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{6\cdot 3\cdot 5} - \frac{5\cdot 5}{18\cdot 5} = \frac{12}{90} + \frac{15}{90} - \frac{25}{90} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}</math>}}
+
Also haben wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math> \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18} = \frac{2\cdot 2\cdot 3}{15\cdot 2\cdot 3} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{6\cdot 3\cdot 5} - \frac{5\cdot 5}{18\cdot 5} = \frac{12}{90} + \frac{15}{90} - \frac{25}{90} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}\,\mbox{.}</math>}}
</li>
</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
 +
== C - Multiplikation ==
-
== Multiplikation ==
+
Wenn man einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert, wird nur der Zähler mit dieser Zahl multipliziert, während der Nenner unverändert bleibt. Es ist offensichtlich, dass zum Beispiel <math>\tfrac{1}{3}</math> mit 2 multipliziert <math>\tfrac{2}{3}</math> ergibt, also:
-
När ett bråk multipliceras med ett heltal, multipliceras endast täljaren med heltalet. Det är uppenbart att om t.ex. <math>\tfrac{1}{3}</math> multipliceras med 2 så blir resultatet <math>\tfrac{2}{3}</math>, dvs.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{1\cdot 2}{3} = \frac{2}{3}\,\mbox{.}</math>}}
-
 
+
-
{{Fristående formel||<math>\frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{1\cdot 2}{3} = \frac{2}{3}</math>}}
+
-
 
+
-
Om två bråk multipliceras med varandra, multipliceras täljarna med varandra och nämnarna med varandra.
+
 +
Wenn man Brüche miteinander multipliziert, multipliziert man die Zähler und die Nenner einzeln.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
''' Beispiel 5'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>8\cdot\frac{3}{7} = \frac{8\cdot 3}{7} = \frac{24}{7}</math></li>
<li><math>8\cdot\frac{3}{7} = \frac{8\cdot 3}{7} = \frac{24}{7}</math></li>
Zeile 148: Zeile 149:
</div>
</div>
-
Innan man genomför multiplikationen bör man alltid kontrollera om det är möjligt att förkorta bråket. Detta utförs genom att ''stryka'' eventuella gemensamma faktorer i täljare och nämnare.
+
Bevor man Brüche multipliziert, sollte man kontrollieren, ob man den Bruch kürzen kann. Dies kontrolliert man, indem man die Brüche als einen gemeinsamen Bruch schreibt.
-
 
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
''' Beispiel 6'''
-
 
+
Vergleiche die beiden Rechnungen:
-
Jämför uträkningarna:
+
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{3\cdot 2}{5\cdot 3} = \frac{6}{15} = \frac{6/3}{15/3} = \frac{2}{5}</math></li>
<li><math>\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{3\cdot 2}{5\cdot 3} = \frac{6}{15} = \frac{6/3}{15/3} = \frac{2}{5}</math></li>
Zeile 161: Zeile 160:
</div>
</div>
-
Att stryka treorna i 6b innebär ju bara att man förkortar bråket med 3 i ett tidigare skede.
+
In 6b hat man den Bruch mit einen Schritt vorher 3 gekürzt als in 6a, aber beide Rechnungen ergeben dasselbe.
-
+
 
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 7'''
+
'''Beispiel 7'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\frac{7}{10}\cdot \frac{2}{7}
<li><math>\frac{7}{10}\cdot \frac{2}{7}
Zeile 182: Zeile 181:
-
== Division ==
+
== D - Division ==
-
Om <math>\tfrac{1}{4}</math> delas i 2 så blir svaret <math>\tfrac{1}{8}</math>. Om <math>\tfrac{1}{2}</math> delas i 5 så blir resultatet <math>\tfrac{1}{10}</math>. Vi har alltså att
+
Wenn man <math>\tfrac{1}{4}</math> durch 2 teilt, bekommt man <math>\tfrac{1}{8}</math>. Wenn man <math>\tfrac{1}{2}</math> durch 5 teilt, bekommt man <math>\tfrac{1}{10}</math>. Wir haben also:
-
{{Fristående formel||<math>\frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{4\cdot 2} = \frac{1}{8} \qquad \mbox{ och } \qquad \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{5} = \frac{1}{2\cdot 5} = \frac{1}{10}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{4\cdot 2} = \frac{1}{8} \qquad \mbox{ und } \qquad \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{5} = \frac{1}{2\cdot 5} = \frac{1}{10}\,\mbox{.}</math>}}
-
När ett bråk divideras med ett heltal, multipliceras alltså nämnaren med heltalet.
+
Wenn ein Bruch durch eine ganze Zahl dividiert wird, wird also der Nenner mit dieser Zahl multipliziert.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 8'''
+
'''Beispiel 8'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\frac{3}{5}\Big/4 = \frac{3}{5\cdot 4} = \frac{3}{20}</math></li>
<li><math>\frac{3}{5}\Big/4 = \frac{3}{5\cdot 4} = \frac{3}{20}</math></li>
Zeile 198: Zeile 197:
</div>
</div>
-
När ett tal divideras med ett bråk, multipliceras talet med bråket inverterat ("uppochnervänt"). Att t.ex. dividera med <math>\frac{1}{2}</math> är ju samma sak som att multiplicera med <math>\frac{2}{1}</math> dvs. 2.
+
Wenn man eine ganze Zahl durch einen Bruch dividiert, wird die Zahl mit dem Kehrbruch des Bruches multipliziert. Zum Beispiel ist die Division durch <math>\frac{1}{2}</math> dasselbe wie eine Multiplikation mit <math>\frac{2}{1}</math>, also 2.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 9'''
+
'''Beispiel 9'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\frac{3}{\displaystyle \frac{1}{2}}
<li><math>\frac{3}{\displaystyle \frac{1}{2}}
Zeile 222: Zeile 221:
</div>
</div>
-
Hur kan bråkdivision förvandlas till multiplikation? Förklaringen är att om ett bråk multipliceras med sitt inverterade bråk blir produkten alltid 1, t.ex.
+
Wie kommt es, dass eine Division mit Brüchen eine Multiplikation wird? Die Erklärung ist, dass ein Bruch multipliziert mit seinem Kehrbruch, immer 1 ergibt. Zum Beispiel:
-
{{Fristående formel||<math>\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2} = \frac{\not{2}}{\not{3}}\cdot\frac{\not{3}}{\not{2}} = 1 \qquad \mbox{eller} \qquad \frac{9}{17}\cdot\frac{17}{9} = \frac{\not{9}}{\not{17}}\cdot\frac{\not{17}}{\not{9}} = 1\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2} = \frac{\not{2}}{\not{3}}\cdot\frac{\not{3}}{\not{2}} = 1 \qquad \mbox{ und } \qquad \frac{9}{17}\cdot\frac{17}{9} = \frac{\not{9}}{\not{17}}\cdot\frac{\not{17}}{\not{9}} = 1\mbox{.}</math>}}
-
Om man i en bråkdivision förlänger täljare och nämnare med nämnarens inverterade bråk, får man alltid 1 i nämnaren och resultatet blir täljaren multiplicerad med den ursprungliga nämnarens inverterade bråk.
+
Bei einer Division von Brüchen erweitert man den ganzen Bruch mit dem Kehrbruch des Nennerbruches. Im Nenner bekommen wir daher nur einen 1:er.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 10'''
+
''' Beispiel 10'''
<math>\frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{7}}
<math>\frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{7}}
Zeile 239: Zeile 238:
-
== Bråk som andelar ==
+
== E - Brüche als Teil eines Ganzen ==
-
Rationella tal är alltså tal som kan skrivas i bråkform, omvandlas till decimalform, eller markeras på en tallinje. I vårt vardagliga språkbruk används också bråk när man beskriver andelar av något. Här nedan ges några exempel. Lägg märke till hur vi använder ordet "''av''", vilket kan betyda såväl multiplikation som division.
+
Rationale Zahlen können als Dezimalzahlen oder auch als Brüche dargestellt werden. Im Alltag verwendet man oft die rationalen Zahlen, um das Verhältnis von verschiedenen Mengen zu beschreiben. Eine Berechnung von einem Verhältnis kann entweder zu einer Multiplikation oder zu einer Division führen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 11'''
+
'''Beispiel 11'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Olle satsade 20 kr och Stina 50 kr.<br><br>
+
<li>Florian investiert 20 € und Julia 50 €. Mit ihrer Investition erwirtschaften sie einen Gewinn. Wie soll der Gewinn gerecht aufgeteilt werden?<br><br>
-
Olles andel är &nbsp;<math>\frac{20}{50 + 20} = \frac{20}{70} = \frac{2}{7}</math>&nbsp; och han bör alltså få &nbsp;<math>\frac{2}{7}</math> av vinsten.</li><br><br>
+
Florians Anteil ist &nbsp;<math>\frac{20}{50 + 20} = \frac{20}{70} = \frac{2}{7}</math>&nbsp; und also sollte er &nbsp;<math>\frac{2}{7}</math> des Gewinns bekommen.</li><br><br>
-
<li>Hur stor del utgör 45 kr av 100 kr? <br><br>
+
<li> Was ist der Anteil von 45 € an 100 €? <br><br>
 +
'''Antwort:''' 45 € ist &nbsp;<math>\frac{45}{100} = \frac{9}{20}</math>&nbsp;von 100 €. .</li><br><br>
-
'''Svar:''' 45 kr är &nbsp;<math>\frac{45}{100} = \frac{9}{20}</math>&nbsp; av 100 kr.</li><br><br>
+
<li> Was ist der Anteil von <math>\frac{1}{3}</math>Liter an <math>\frac{1}{2}</math> Liter? <br><br>
-
<li>Hur stor del utgör <math>\frac{1}{3}</math> liter av <math>\frac{1}{2}</math> liter? <br><br>
+
'''Antwort:''' <math>\frac{1}{3}</math> Liter sind <math>\frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{1} = \frac{2}{3} </math>&nbsp; von &nbsp;<math>\frac{1}{2}</math> Liter.</li><br><br>
-
'''Svar:''' <math>\frac{1}{3}</math> liter är <math>\frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{1} = \frac{2}{3} </math>&nbsp; av &nbsp;<math>\frac{1}{2}</math> liter.</li><br><br>
+
<li>Wie viel ist &nbsp;<math>\frac{5}{8} </math>&nbsp; von 1000?<br><br>
-
<li>Hur mycket är &nbsp;<math>\frac{5}{8} </math>&nbsp; av 1000?<br><br>
+
'''Antwort:''' <math>\frac{5}{8}\cdot 1000 = \frac{5000}{8} = 625</math></li><br><br>
-
'''Svar:''' <math>\frac{5}{8}\cdot 1000 = \frac{5000}{8} = 625</math></li><br><br>
+
<li> Wie viel ist &nbsp;<math>\frac{2}{3}</math>&nbsp; von &nbsp;<math>\frac{6}{7}</math> ?<br><br>
-
<li>Hur mycket är &nbsp;<math>\frac{2}{3}</math>&nbsp; av &nbsp;<math>\frac{6}{7}</math> ?<br><br>
+
'''Antwort:''' <math>\frac{2}{3}\cdot\frac{6}{7} = \frac{2}{\not{3}} \cdot \frac{2 \cdot \not{3}}{7} = \frac{2 \cdot 2}{7} = \frac{4}{7}</math></li>
-
 
+
-
'''Svar:''' <math>\frac{2}{3}\cdot\frac{6}{7} = \frac{2}{\not{3}} \cdot \frac{2 \cdot \not{3}}{7} = \frac{2 \cdot 2}{7} = \frac{4}{7}</math></li>
+
</ol>
</ol>
</div>
</div>
 +
== F - Gemischte Ausdrücke ==
-
== Blandade uttryck ==
+
Wenn Brüche in größeren Ausdrücken vorkommen, ist es wichtig sich an die Operatorrangfolge zu erinnern. Wichtig ist auch, dass es um Zähler und Nenner in einem Bruch "unsichtbare Klammern" gibt. Also muss man den Zähler und Nenner zuerst berechnen, bevor man den Bruch kürzt.
-
 
+
-
När bråk förekommer i räkneuttryck gäller naturligtvis metoderna för de fyra räknesätten som vanligt, samt prioriteringsreglerna (multiplikation/division före addition/subtraktion). Kom också ihåg att täljare och nämnare i ett divisionsuttryck beräknas var för sig innan divisionen utförs ("osynliga parenteser").
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 12'''
+
''' Beispiel 12'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\frac{1}{\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{3}{4}}
<li><math>\frac{1}{\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{3}{4}}
Zeile 325: Zeile 322:
</div>
</div>
-
[[1.2 Övningar|Övningar]]
 
 +
Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
-
<div class="inforuta" style="width: 580px">
+
Keine weiteren Fragen mehr? Dann mach weiter mit den [[1.2 Übungen|'''Übungen''']].
-
'''Råd för inläsning'''
+
-
'''Grund- och slutprov'''
 
-
Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra
+
<div class="inforuta" style="width: 580px">
-
grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar
+
'''Tipps fürs Lernen'''
-
länken till proven i din student lounge.
+
 
 +
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
 +
Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
-
'''Tänk på att:'''
 
-
Sträva alltid efter att skriva ett uttryck i enklast möjliga form. Vad
+
'''Bedenke folgendes: '''
-
som är "enklast" beror dock oftast på sammanhanget.
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Det är viktigt att du verkligen behärskar bråkräkning. Att du kan
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Versuche Deine Berechnungen so einfach wie möglich zu halten. Was am einfachsten ist, ist verschieden von Fall zu Fall.
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hitta en gemensam nämnare, förkorta och förlänga etc. Principerna är
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nämligen grundläggande när man ska räkna med rationella uttryck som
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innehåller variabler och för att du ska kunna hantera andra
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matematiska uttryck och operationer.
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Rationella uttryck med bråk som innehåller variabler
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Es ist wichtig, die Rechnungen mit Brüchen gut zu beherrschen. Du solltest Bruchrechnungen sowie Divisionen, Multiplikation und Brüche mit gemeinsamen Nennern schreiben und ohne Probleme ausführen können. Bruchrechnungen kommen häufig in rationalen Funktionen vor, aber auch in Grenzwerten und Differentialrechnungen, und sind daher sehr elementar in der Mathematik.
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(''x'', ''y'', ...) är mycket vanliga när man studerar funktioner,
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speciellt ändringskvoter, gränsvärden och derivata.
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'''Lästips'''
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'''Literaturhinweise'''
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för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre
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Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
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förklaring
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[http://en.wikipedia.org/wiki/Fraction_(mathematics) Läs mer om bråk och bråkräkning i engelska Wikipedia ]
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[http://de.wikipedia.org/wiki/Bruchrechnung Mehr zur Bruchrechnung in der Wikipedia ]
-
[http://www.fritext.se/matte/brak/brak.html Bråkräkning - Fri text ]
 
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'''Nützliche Websites'''
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'''Länktips'''
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[http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_105_g_2_t_1.html Interaktives Programm zu Brüchen (engl.)]
-
[http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_105_g_2_t_1.html Experimentera interaktivt med bråk ]
 
-
[http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex13_brakaddition/Ex13Applet.html Här kan du få en bild av hur det går till när man lägger ihop bråk. ]
 
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Addition und Subtraktion von Brüchen
  • Multiplikation und Division von Brüchen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du ...

  • ... Ausdrücke bestehend aus Brüchen, den vier Grundrechnungsarten und Klammern berechnen können.
  • ... Brüche so weit wie möglich kürzen können.
  • ... den Hauptnenner von Brüchen bestimmen können.


Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weisst ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Brüche kürzen und erweitern

Eine rationale Zahl kann in mehreren äquivalenten Formen dargestellt werden, je nach der Wahl des Zählers und Nenners. Zum Beispiel:

\displaystyle 0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16}\quad\textrm{etc.}

Ein Bruch ändert also nicht seinen Wert, wenn man den Zähler und den Nenner jeweils mit der gleichen Zahl multipliziert oder durch die gleiche Zahl teilt. Diesen Vorgang nennt man erweitern bzw. kürzen.

Beispiel 1 Multiplikation mit derselben Zahl:

  1. \displaystyle \frac{2}{3} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{10}{15}
  2. \displaystyle \frac{5}{7} = \frac{5\cdot 4}{7\cdot 4} = \frac{20}{28}

Division durch dieselbe Zahl:

  1. \displaystyle \frac{9}{12} = \frac{9/3}{12/3} = \frac{3}{4}
  2. \displaystyle \frac{72}{108} = \frac{72/2}{108/2} = \frac{36}{54} = \frac{36/6}{54/6} = \frac{6}{9} = \frac{6/3}{9/3} = \frac{2}{3}

Ein Bruch sollte immer so weit wie möglich gekürzt werden. Dies kann bei großen Zahlen schwierig werden. Deshalb sollte man die Brüche so kurz wie möglich in den Rechnungen schreiben.


B - Addition und Subtraktion von Brüchen

Um Brüche addieren und subtrahieren zu können, müssen alle Brüche denselben Nenner haben. Wenn das nicht der Fall ist, muss man zuerst die Brüche mit einer geeigneten Zahl erweitern, sodass sie denselben Nenner bekommen.

Beispiel 2

  1. \displaystyle \frac{3}{5}+\frac{2}{3} = \frac{3\cdot 3}{5\cdot 3} + \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} = \frac{9+10}{15} = \frac{19}{15}
  2. \displaystyle \frac{5}{6}-\frac{2}{9} = \frac{5\cdot 3}{6\cdot 3} - \frac{2\cdot 2}{9\cdot 2} = \frac{15}{18} - \frac{4}{18} = \frac{15-4}{18} = \frac{11}{18}

Das Wichtigste hier ist, einen gemeinsamen Nenner zu finden. Einen gemeinsamen Nenner findet man einfach, indem man alle Brüche mit den Nennern der anderen Brüche erweitert. Oft erhält man dadurch aber sehr große Zahlen, die das Weiterrechnen erschweren. Daher ist es ideal, den kleinstmöglichen gemeinsamen Nenner, den sogenannten Hauptnenner, zu finden.

Der Hauptnenner zweier oder mehrerer Brüche ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner der einzelnen Brüche.

Beispiel 3

  1. \displaystyle \frac{7}{15}-\frac{1}{12} = \frac{7\cdot 12}{15\cdot 12} - \frac{1\cdot 15}{12\cdot 15}\vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \insteadof{\displaystyle\frac{7}{15}-\frac{1}{12}}{}{} = \frac{84}{180}-\frac{15}{180} = \frac{69}{180} = \frac{69/3}{180/3} = \frac{23}{60}
  2. \displaystyle \frac{7}{15}-\frac{1}{12} = \frac{7\cdot 4}{15\cdot 4}- \frac{1\cdot 5}{12\cdot 5} = \frac{28}{60}-\frac{5}{60} = \frac{23}{60}
  3. \displaystyle \frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6} = \frac{1\cdot 4\cdot 6}{8\cdot 4\cdot 6} + \frac{3\cdot 8\cdot 6}{4\cdot 8\cdot 6} - \frac{1\cdot 8\cdot 4}{6\cdot 8\cdot 4}\vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \insteadof{\frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6}}{}{} = \frac{24}{192} + \frac{144}{192} - \frac{32}{192} = \frac{136}{192} = \frac{136/8}{192/8} = \frac{17}{24}
  4. \displaystyle \frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6} = \frac{1\cdot 3}{8\cdot 3} + \frac{3\cdot 6}{4\cdot 6} - \frac{1\cdot 4}{6\cdot 4} = \frac{3}{24} + \frac{18}{24} - \frac{4}{24} = \frac{17}{24}

Man sollte die Bruchrechnung so gut beherrschen, dass man direkt den Hauptnenner von nicht all zu großen Brüchen findet. Eine allgemeine Methode um den Hauptnenner zu finden, besteht darin, dass man die Nenner in ihre Primfaktoren zerlegt.

Beispiel 4

  1. Vereinfache \displaystyle \ \frac{1}{60} + \frac{1}{42}.

    Wir zerlegen die Nenner zuerst in ihre Primfaktoren.
    \displaystyle \eqalign{60 &= 2\cdot &2\cdot &3\cdot &5& \cr 42 &= &2\cdot &3\cdot &&7}

    Das kgV der beiden Nenner ist das Produkt aus allen Primfaktoren, die in einer der beiden Zerlegungen vorkommen. Gleiche Primfaktoren werden dabei so oft verwendet, wie in der Zerlegung, in der sie am häufigsten vorkommen:

    \displaystyle \text{kgV}(60,42) = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 420\,\mbox{.}

    Anstatt nun jeden Bruch mit dem gesamten Nenner des anderen Bruches zu erweitern, erweitern wir die Brüche nur mit den Primfaktoren, die dem jeweiligen Nenner noch zum kgV fehlen und bringen sie so auf den Hauptnenner. Danach könne wir einfach addieren:

    \displaystyle \frac{1}{60}+\frac{1}{42} = \frac{1\cdot 7}{60\cdot 7} + \frac{1\cdot 2\cdot 5}{42\cdot 2\cdot 5} = \frac{7}{420} + \frac{10}{420} =\frac{17}{420}\,\mbox{.}
  2. Vereinfache \displaystyle \ \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18}.

    Bestimmung des kgV der drei Nenner:
    \displaystyle \eqalign{15 &= &3\cdot &&5\cr 6&=2\cdot &3\cr 18 &= 2\cdot &3\cdot &3}

    haben das kgV

    \displaystyle

    \text{kgV}(15, 6, 18) = 2\cdot 3\cdot 3\cdot5 = 90\,\mbox{.}

    Also haben wir

    \displaystyle \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18} = \frac{2\cdot 2\cdot 3}{15\cdot 2\cdot 3} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{6\cdot 3\cdot 5} - \frac{5\cdot 5}{18\cdot 5} = \frac{12}{90} + \frac{15}{90} - \frac{25}{90} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}\,\mbox{.}

C - Multiplikation

Wenn man einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert, wird nur der Zähler mit dieser Zahl multipliziert, während der Nenner unverändert bleibt. Es ist offensichtlich, dass zum Beispiel \displaystyle \tfrac{1}{3} mit 2 multipliziert \displaystyle \tfrac{2}{3} ergibt, also:

\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{1\cdot 2}{3} = \frac{2}{3}\,\mbox{.}

Wenn man Brüche miteinander multipliziert, multipliziert man die Zähler und die Nenner einzeln.

Beispiel 5

  1. \displaystyle 8\cdot\frac{3}{7} = \frac{8\cdot 3}{7} = \frac{24}{7}
  2. \displaystyle \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{5} = \frac{2\cdot 1}{3\cdot 5} = \frac{2}{15}

Bevor man Brüche multipliziert, sollte man kontrollieren, ob man den Bruch kürzen kann. Dies kontrolliert man, indem man die Brüche als einen gemeinsamen Bruch schreibt.

Beispiel 6 Vergleiche die beiden Rechnungen:

  1. \displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{3\cdot 2}{5\cdot 3} = \frac{6}{15} = \frac{6/3}{15/3} = \frac{2}{5}
  2. \displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{\not{3}\cdot 2}{5\cdot \not{3}} = \frac{2}{5}

In 6b hat man den Bruch mit einen Schritt vorher 3 gekürzt als in 6a, aber beide Rechnungen ergeben dasselbe.

Beispiel 7

  1. \displaystyle \frac{7}{10}\cdot \frac{2}{7} = \frac{\not{7}}{10}\cdot \frac{2}{\not{7}} = \frac{1}{10}\cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{\not{2} \cdot 5}\cdot \frac{\not{2}}{1} = \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{1} =\frac{1}{5}
  2. \displaystyle \frac{14}{15}\cdot \frac{20}{21} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{2 \cdot \not{7}}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot \not{7}} = \frac{2}{3 \cdot \not{5}}\cdot \frac{4 \cdot \not{5}}{3} = \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3} = \frac{2\cdot 4}{3\cdot 3} = \frac{8}{9}


D - Division

Wenn man \displaystyle \tfrac{1}{4} durch 2 teilt, bekommt man \displaystyle \tfrac{1}{8}. Wenn man \displaystyle \tfrac{1}{2} durch 5 teilt, bekommt man \displaystyle \tfrac{1}{10}. Wir haben also:

\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{4\cdot 2} = \frac{1}{8} \qquad \mbox{ und } \qquad \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{5} = \frac{1}{2\cdot 5} = \frac{1}{10}\,\mbox{.}

Wenn ein Bruch durch eine ganze Zahl dividiert wird, wird also der Nenner mit dieser Zahl multipliziert.

Beispiel 8

  1. \displaystyle \frac{3}{5}\Big/4 = \frac{3}{5\cdot 4} = \frac{3}{20}
  2. \displaystyle \frac{6}{7}\Big/3 = \frac{6}{7\cdot 3} = \frac{2\cdot\not{3}}{7\cdot \not{3}} = \frac{2}{7}

Wenn man eine ganze Zahl durch einen Bruch dividiert, wird die Zahl mit dem Kehrbruch des Bruches multipliziert. Zum Beispiel ist die Division durch \displaystyle \frac{1}{2} dasselbe wie eine Multiplikation mit \displaystyle \frac{2}{1}, also 2.

Beispiel 9

  1. \displaystyle \frac{3}{\displaystyle \frac{1}{2}} = 3\cdot \frac{2}{1} = \frac{3\cdot 2}{1} = 6
  2. \displaystyle \frac{5}{\displaystyle \frac{3}{7}} = 5\cdot\frac{7}{3} = \frac{5\cdot 7}{3} = \frac{35}{3}
  3. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{8}} = \frac{2}{3}\cdot \frac{8}{5} = \frac{2\cdot 8}{3\cdot 5} = \frac{16}{15}
  4. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{4}}{\displaystyle \frac{9}{10}} = \frac{3}{4}\cdot \frac{10}{9} = \frac{\not{3}}{2\cdot\not{2}} \cdot\frac{\not{2} \cdot 5}{\not{3} \cdot 3} = \frac{5}{2\cdot 3} = \frac{5}{6}

Wie kommt es, dass eine Division mit Brüchen eine Multiplikation wird? Die Erklärung ist, dass ein Bruch multipliziert mit seinem Kehrbruch, immer 1 ergibt. Zum Beispiel:

\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2} = \frac{\not{2}}{\not{3}}\cdot\frac{\not{3}}{\not{2}} = 1 \qquad \mbox{ und } \qquad \frac{9}{17}\cdot\frac{17}{9} = \frac{\not{9}}{\not{17}}\cdot\frac{\not{17}}{\not{9}} = 1\mbox{.}

Bei einer Division von Brüchen erweitert man den ganzen Bruch mit dem Kehrbruch des Nennerbruches. Im Nenner bekommen wir daher nur einen 1:er.

Beispiel 10

\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{7}} = \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{\displaystyle \frac{5}{7}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}} = \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{1} = \frac{2}{3}\cdot\frac{7}{5}


E - Brüche als Teil eines Ganzen

Rationale Zahlen können als Dezimalzahlen oder auch als Brüche dargestellt werden. Im Alltag verwendet man oft die rationalen Zahlen, um das Verhältnis von verschiedenen Mengen zu beschreiben. Eine Berechnung von einem Verhältnis kann entweder zu einer Multiplikation oder zu einer Division führen.

Beispiel 11

  1. Florian investiert 20 € und Julia 50 €. Mit ihrer Investition erwirtschaften sie einen Gewinn. Wie soll der Gewinn gerecht aufgeteilt werden?

    Florians Anteil ist  \displaystyle \frac{20}{50 + 20} = \frac{20}{70} = \frac{2}{7}  und also sollte er  \displaystyle \frac{2}{7} des Gewinns bekommen.


  2. Was ist der Anteil von 45 € an 100 €?

    Antwort: 45 € ist  \displaystyle \frac{45}{100} = \frac{9}{20} von 100 €. .


  3. Was ist der Anteil von \displaystyle \frac{1}{3}Liter an \displaystyle \frac{1}{2} Liter?

    Antwort: \displaystyle \frac{1}{3} Liter sind \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{1} = \frac{2}{3}   von  \displaystyle \frac{1}{2} Liter.


  4. Wie viel ist  \displaystyle \frac{5}{8}   von 1000?

    Antwort: \displaystyle \frac{5}{8}\cdot 1000 = \frac{5000}{8} = 625


  5. Wie viel ist  \displaystyle \frac{2}{3}  von  \displaystyle \frac{6}{7} ?

    Antwort: \displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{6}{7} = \frac{2}{\not{3}} \cdot \frac{2 \cdot \not{3}}{7} = \frac{2 \cdot 2}{7} = \frac{4}{7}

F - Gemischte Ausdrücke

Wenn Brüche in größeren Ausdrücken vorkommen, ist es wichtig sich an die Operatorrangfolge zu erinnern. Wichtig ist auch, dass es um Zähler und Nenner in einem Bruch "unsichtbare Klammern" gibt. Also muss man den Zähler und Nenner zuerst berechnen, bevor man den Bruch kürzt.

Beispiel 12

  1. \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{3}{4}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{2\cdot 4}{3\cdot 4} + \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{8}{12} + \frac{9}{12}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{17}{12}} = 1\cdot\frac{12}{17} = \frac{12}{17}


  2. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4}{3} - \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4}{3}+\frac{1}{6}} = \frac{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6}} = \frac{\displaystyle \frac{8}{6} - \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{8}{6} + \frac{1}{6}} = \frac{\displaystyle \frac{7}{6}}{\displaystyle \frac{9}{6}} = \frac{7}{\not{6}}\cdot\frac{\not{6}}{9} = \frac{7}{9}


  3. \displaystyle \frac{3-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-2} = \frac{\displaystyle \frac{3 \cdot 5}{5}- \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 3}{3}} = \frac{\displaystyle \frac{15}{5} - \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{6}{3}} = \frac{\displaystyle \frac{12}{5}}{-\displaystyle \frac{4}{3}} = \frac{12}{5}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3\cdot \not{4} }{5} \cdot \frac{3}{\not{4}} = -\frac{3\cdot 3}{5} = -\frac{9}{5}


  4. \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}-\frac{3}{5} \cdot\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{2}{3}\big/\frac{1}{5} -\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{3}}{2}} = \frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}} -\frac{3\cdot1}{5\cdot3}}{\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{1} -\frac{\frac{3}{12}-\frac{4}{12}}{2}} = \frac{\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{5}{6}} - \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{10}{3} - \frac{-\displaystyle \frac{1}{12}}{2}} \displaystyle \qquad\quad{}= \frac{\displaystyle \frac{6}{5} - \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{10}{3} + \frac{1}{24}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{80}{24}+\frac{1}{24}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{81}{24}} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}


Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor My status My status

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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenke folgendes:

Versuche Deine Berechnungen so einfach wie möglich zu halten. Was am einfachsten ist, ist verschieden von Fall zu Fall.

Es ist wichtig, die Rechnungen mit Brüchen gut zu beherrschen. Du solltest Bruchrechnungen sowie Divisionen, Multiplikation und Brüche mit gemeinsamen Nennern schreiben und ohne Probleme ausführen können. Bruchrechnungen kommen häufig in rationalen Funktionen vor, aber auch in Grenzwerten und Differentialrechnungen, und sind daher sehr elementar in der Mathematik.


Literaturhinweise

Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:

Mehr zur Bruchrechnung in der Wikipedia


Nützliche Websites

Interaktives Programm zu Brüchen (engl.)


Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/1.2_Br%C3%BCche“