4.3 Trigonometrische Eigenschaften

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Selected tab|[[4.3 Trigonometric relations|Theory]]}}
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{{Gewählter Tab|[[4.3 Trigonometrische Eigenschaften|Theorie]]}}
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{{Not selected tab|[[4.3 Exercises|Exercises]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[4.3 Übungen|Übungen]]}}
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{{Info|
{{Info|
-
'''Contents:'''
+
'''Inhalt:'''
-
* The Pythagorean identity
+
* Der trigonometrische Pythagoras
-
* The double-angle and half-angle formulas
+
* Die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln
-
* Addition and subtraction formulas
+
* Die Additionstheoreme
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Learning outcome:'''
+
'''Lernziele:'''
-
After this section, you will have learned how to:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
*Derive trigonometric relationships from symmetries in the unit circle.
+
* Trigonometrische Identitäten durch den Einheitskreis herleiten.
-
* Simplify trigonometric expressions with the help of trigonometric formulas.
+
* Trigonometrische Ausdrücke mit den trigonometrischen Identitäten vereinfachen.
}}
}}
-
== Introduction ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
There is a variety of trigonometric formulas to use if one wishes to transform between the sine, cosine or tangent for an angle or multiples of an angle. They are usually known as the trigonometric identities, since they only lead to different ways to describe a single expression using a variety of trigonometric functions. Here we will give some of these trigonometric relationships. There are many more than we can deal with in this course. Most can be derived from the so-called Pythagorean identity and the addition and subtraction formulas or identities (see below), which are important to know by heart.
+
== A - Einführung ==
 +
Es gibt viele trigonometrische Formeln, um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln nennt man meist die trigonometrischen Identitäten. Wir werden hier einige trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrischen Pythagoras hergeleitet werden, die deshalb zentrale Identitäten sind.
-
 
+
== B - Der trigonometrische Pythagoras ==
-
== The Pythagorean identity ==
+
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-
This identity is the most basic, but is in fact nothing more than Pythagorean theorem, applied to the unit circle. The right-angled triangle on the right shows that
+
Dieses Gesetz ist eigentlich nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras für Dreiecke im Einheitskreis. Durch das rechtwinklige Dreieck im Bild sehen wir, dass
-
{{Displayed math||<math>(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}</math>}}
-
which is usually written as <math>\sin^2\!v + \cos^2\!v = 1</math>.
+
das normalerweise als <math>\sin^2\!v + \cos^2\!v = 1</math> geschrieben wird.
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-
{{:4.3 - Figur - Trigonometriska ettan}}
+
{{:4.3 - Bild - Sats des Pythagoras}}
|}
|}
-
== Symmetries ==
+
== C - Symmetrien ==
-
With the help of the unit circle and reflection, and exploiting the symmetries of the trigonometric functions one obtains a large amount of relationships between the cosine and sine functions.
+
Mit Spiegelungen im Einheitskreis kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Displayed math||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\begin{align*}
+
\begin{align*}
-
\cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
+
\cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
-
\sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
+
\sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
-
\cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
+
\cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
-
\sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
+
\sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
-
\end{align*}
+
\end{align*}
-
\qquad\quad
+
\qquad\quad
-
\begin{align*}
+
\begin{align*}
-
\cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\
+
\cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\
-
\sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\\
+
\sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\\
-
\cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\\
+
\cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\\
-
\sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\
+
\sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\
-
\end{align*}
+
\end{align*}
</math>}}
</math>}}
</div>
</div>
-
Instead of trying to learn all of these relationships by heart, it might be better to learn how to derive them from the unit circle.
+
Wie gesagt kann man diese Symmetrien einfach mit dem Einheitskreis herleiten.
-
'''Reflection in the ''x''-axis'''
+
'''Spiegelung an der ''x''-Achse'''
{|
{|
|-
|-
| width=50% valign=top align="center" |
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-
{{:4.3 - Figur - Spegling i x-axeln}}
+
{{:4.3 - Bild - Reflektion in der x-Achse}}
| width=45% valign=top |
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<br>
<br>
-
When an angle <math>v</math> is reflected in the ''x''-axis it becomes<math>-v</math>.
+
Durch Spiegelung an der ''x''-Achse wird der Winkel <math>v</math>, <math>-v</math>.
-
 
+
Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die ''x''-Koordinate aus, während die ''y''-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.
-
Reflection does not affect the ''x''- coordinate while the ''y''-coordinate changes sign
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
{{Displayed math||<math>\begin{align*}
+
\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\
-
\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\
+
\sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\
-
\sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\
+
\end{align*}</math>}}
-
\end{align*}</math>}}
+
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-
'''Reflection in the ''y''-axis'''
+
'''Spiegelung an der ''y''-Achse'''
{|
{|
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-
{{:4.3 - Figur - Spegling i y-axeln}}
+
{{:4.3 - Bild - Reflektion in der y-Achse}}
| width=45% valign=top |
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<br>
<br>
-
Reflection in the ''y''-axis changes the angle <math>v</math> to <math>\pi-v</math> (the reflection makes an angle <math>v</math> with the negative ''x''-axis).
+
Durch Spiegelung an der ''y''-Achse wird der Winkel <math>v</math>, <math>\pi-v</math> (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel <math>v</math> mit der negativen ''x''-Achse)
 +
Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die ''y''-Koordinate aus, während die ''x''-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.
-
Reflection does not affect the ''y''-coordinate while the ''x''-coordinate changes sign
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
{{Displayed math||<math>\begin{align*}
+
\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\
-
\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\
+
\sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\
-
\sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\
+
\end{align*}</math>}}
-
\end{align*}</math>}}
+
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-
''' Reflection in the line ''y = x'' '''
+
''' Spiegelung an der Geraden ''y = x'' '''
{|
{|
|-
|-
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-
{{:4.3 - Figur - Spegling i linjen y = x}}
+
{{:4.3 - Bild - Reflektion in der Geraden y = x}}
| width=45% valign=top |
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<br>
<br>
-
The angle <math>v</math> changes to <math>\pi/2 - v</math> ( the reflection makes an angle <math>v</math> with the positive ''y''-axis).
+
Durch eine Spiegelung an der Geraden wird der Winkel <math>v</math>, <math>\pi/2 - v</math> (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel <math>v</math> mit der positiven ''y''-Achse).
-
Reflection causes the ''x''- and ''y''-coordinates to change places
+
Durch die Spiegelung tauschen die ''x''- und die ''y''- Koordinaten ihre Plätze.
-
{{Displayed math||<math>\begin{align*}
+
 
-
\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\\
+
\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\\
 +
\end{align*}</math>}}
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''' Rotation by an angle of <math>\mathbf{\pi/2}</math>'''
+
''' Drehung um den Winkel <math>\mathbf{\pi/2}</math>'''
{|
{|
|-
|-
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-
{{:4.3 - Figur - Vridning med vinkeln π/2}}
+
{{:4.3 - Bild - Rotation mit dem Winkel π/2}}
| width=40% valign=top |
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<br>
<br>
-
A rotation <math>\pi/2</math> of the angle <math>v</math> means that the angle becomes <math>v+\pi/2</math>.
+
Durch eine Umdrehung von <math>\pi/2</math> wird der Winkel <math>v</math> zu <math>v+\pi/2</math>.
-
 
+
Durch die Drehung wird die Koordinate <math>(x,y)</math> zu <math>(-y,x)</math>.
-
The rotation turns the ''x''-coordinate into the new ''y''-coordinate and the ''y''-coordinates turns into the new ''x''-coordinate though with the opposite sign
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
{{Displayed math||<math>\begin{align*}
+
\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\
-
\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\
+
\sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}
-
\sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}
+
\end{align*}</math>}}
-
\end{align*}</math>}}
+
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-
Alternatively, one can get these relationships by reflecting and / or displacing graphs. For instance, if we want to have a formula in which <math>\cos v</math> is expressed in terms of a sine one can displace the graph for cosine to fit the sine curve. This can be done in several ways, but the most natural is to write <math>\cos v = \sin (v + \pi / 2)</math>. To avoid mistakes, one can check that this is true for several different values of <math>v</math>.
+
== D - Die Additionstheoreme, die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln ==
-
<center>{{:4.3 - Figur - Kurvorna y = cos x och y = sin x}}</center>
+
Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie <math>\sin(u+v)</math>. Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Cosinus lauten die Additionstheoreme
-
 
+
-
 
+
-
Check: <math>\ \cos 0 = \sin (0 + \pi / 2)=1</math>.
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-
 
+
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-
== The addition and subtraction formulas and double-angle and half-angle formulas ==
+
-
 
+
-
One often needs to deal with expressions in which two or more angles are involved, such as <math>\sin(u+v)</math>. One will then need the so-called "addition formulas" . For sine and cosine the formulas are
+
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Displayed math||<math>\begin{align*}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
+
\sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
-
\sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
+
\sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
-
\cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\
+
\cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\
-
\cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\\
+
\cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
-
If one wants to know the sine or cosine of a double angle, that is <math>\sin 2v</math> or <math>\cos 2v</math>, one can write these expressions as <math>\sin(v + v)</math> or <math>\cos(v + v)</math> and use the addition formulas above and get the double-angle formulas
+
Um die Doppelwinkelfunktionen <math>\sin 2v</math> und <math>\cos 2v</math> zu erhalten, kann man die Sonderfälle <math>\sin(v + v)</math> und <math>\cos(v + v)</math> der Additionstheoreme betrachten
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Displayed math||<math>\begin{align*}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
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\sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\
+
\sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\
-
\cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\
+
\cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
-
From these relationships, one can then get the formulas for half angles. By replacing <math>2v</math> by <math>v</math>, and consequently <math>v</math> by <math>v/2</math>, in the formula for <math>\cos 2v</math> one gets that
+
Indem man in diese Formel <math>2v</math> mit <math>v</math> ersetzt und natürlich auch <math>v</math> mit <math>v/2</math>, erhält man für <math>\cos 2v</math>
-
{{Displayed math||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
\cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
-
If we want a formula for <math>\sin(v/2)</math> we use the Pythagorean identity to get rid of <math>\cos^2(v/2)</math>
+
Durch den trigonometrischen Pythagoras werden wir den Term <math>\cos^2(v/2)</math> los
-
{{Displayed math||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}
+
\cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}
-
= 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}</math>}}
+
= 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}</math>}}
-
i.e.
+
also
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Displayed math||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
\sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
Similarly, we can use the Pythagorean identity to get rid of <math>\sin^2(v/2)</math>. Then we will have instead
+
Man kann natürlich auch den trigonometrischen Pythagoras verwenden, um den Term <math>\sin^2(v/2)</math> loszuwerden. So erhalten wir statt dessen
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Displayed math||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
\cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
 +
<br><br>
 +
Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
 +
 +
Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[4.3 Übungen|Übungen]]''' .
-
[[4.3 Exercises|Exercises]]
 
<div class="inforuta" style="width:580px;">
<div class="inforuta" style="width:580px;">
-
'''Study advice'''
+
'''Tipps fürs Lernen'''
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'''The basic and final tests'''
+
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+
-
After you have read the text and worked through the exercises, you should do the basic and final tests to pass this section. You can find the link to the tests in your student lounge.
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 +
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
-
'''Keep in mind that:'''
+
Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
-
The unit circle is an invaluable tool for finding trigonometric relationships. They are a multitude and there is no point in trying to learn all of them by heart. It is also time-consuming to have to look them up all the time. Therefore, it is much better that you learn how to use the unit circle.
 
-
The most famous trigonometric formula is the so-called Pythagorean identity. It applies to all angles, not just for acute angles. It is based on the Pythagoras theorem.
+
'''Bedenken folgendes:'''
 +
Der Einheitskreis ist ein sehr nützliches Hilfsmittel, um trigonometrische Identitäten herzuleiten. Es gibt sehr viele verschiedene trigonometrische Identitäten, und man kann sie nicht alle auswendig lernen. Deshalb ist es gut, sie herleiten zu können. Der trigonometrische Pythagoras ist zum Beispiel nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras im Einheitskreis.
-
'''Useful web sites'''
+
'''Nützliche Websites'''
-
[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/cosbox/cosbox.html Experiment with the cosine “box” ]
+
[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/cosbox/cosbox.html Experimentiere mit der "Cosinuskiste" (engl.) ]
</div>
</div>

Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Der trigonometrische Pythagoras
  • Die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln
  • Die Additionstheoreme

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Trigonometrische Identitäten durch den Einheitskreis herleiten.
  • Trigonometrische Ausdrücke mit den trigonometrischen Identitäten vereinfachen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Einführung

Es gibt viele trigonometrische Formeln, um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln nennt man meist die trigonometrischen Identitäten. Wir werden hier einige trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrischen Pythagoras hergeleitet werden, die deshalb zentrale Identitäten sind.

B - Der trigonometrische Pythagoras

Dieses Gesetz ist eigentlich nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras für Dreiecke im Einheitskreis. Durch das rechtwinklige Dreieck im Bild sehen wir, dass

\displaystyle (\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}

das normalerweise als \displaystyle \sin^2\!v + \cos^2\!v = 1 geschrieben wird.

[Image]


C - Symmetrien

Mit Spiegelungen im Einheitskreis kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.

\displaystyle

\begin{align*} \cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\ \sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\\ \cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\ \sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\ \end{align*} \qquad\quad \begin{align*} \cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\ \sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\\ \cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\\ \sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\ \end{align*}

Wie gesagt kann man diese Symmetrien einfach mit dem Einheitskreis herleiten.


Spiegelung an der x-Achse

[Image]


Durch Spiegelung an der x-Achse wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle -v.

Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die x-Koordinate aus, während die y-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.

\displaystyle \begin{align*}

\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\ \sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\ \end{align*}


Spiegelung an der y-Achse

[Image]


Durch Spiegelung an der y-Achse wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle \pi-v (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel \displaystyle v mit der negativen x-Achse)

Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die y-Koordinate aus, während die x-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.

\displaystyle \begin{align*}

\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\ \sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\ \end{align*}


Spiegelung an der Geraden y = x

[Image]


Durch eine Spiegelung an der Geraden wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle \pi/2 - v (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel \displaystyle v mit der positiven y-Achse).


Durch die Spiegelung tauschen die x- und die y- Koordinaten ihre Plätze.

\displaystyle \begin{align*}

\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\ \sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\\ \end{align*}


Drehung um den Winkel \displaystyle \mathbf{\pi/2}

[Image]


Durch eine Umdrehung von \displaystyle \pi/2 wird der Winkel \displaystyle v zu \displaystyle v+\pi/2.

Durch die Drehung wird die Koordinate \displaystyle (x,y) zu \displaystyle (-y,x).

\displaystyle \begin{align*}

\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\ \sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.} \end{align*}


D - Die Additionstheoreme, die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln

Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie \displaystyle \sin(u+v). Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Cosinus lauten die Additionstheoreme

\displaystyle \begin{align*}

\sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\ \sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\ \cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\ \cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\\ \end{align*}

Um die Doppelwinkelfunktionen \displaystyle \sin 2v und \displaystyle \cos 2v zu erhalten, kann man die Sonderfälle \displaystyle \sin(v + v) und \displaystyle \cos(v + v) der Additionstheoreme betrachten

\displaystyle \begin{align*}

\sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\ \cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\ \end{align*}

Indem man in diese Formel \displaystyle 2v mit \displaystyle v ersetzt und natürlich auch \displaystyle v mit \displaystyle v/2, erhält man für \displaystyle \cos 2v

\displaystyle

\cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}

Durch den trigonometrischen Pythagoras werden wir den Term \displaystyle \cos^2(v/2) los

\displaystyle

\cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2} = 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}

also

\displaystyle

\sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}

Man kann natürlich auch den trigonometrischen Pythagoras verwenden, um den Term \displaystyle \sin^2(v/2) loszuwerden. So erhalten wir statt dessen

\displaystyle

\cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}



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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenken folgendes:

Der Einheitskreis ist ein sehr nützliches Hilfsmittel, um trigonometrische Identitäten herzuleiten. Es gibt sehr viele verschiedene trigonometrische Identitäten, und man kann sie nicht alle auswendig lernen. Deshalb ist es gut, sie herleiten zu können. Der trigonometrische Pythagoras ist zum Beispiel nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras im Einheitskreis.

Nützliche Websites

Experimentiere mit der "Cosinuskiste" (engl.)

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/4.3_Trigonometrische_Eigenschaften“